Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76034 / 58738
↖ ↑ ↗
← N 18.349312°
E 28.833618°		 ← 289.90 m → N 18.349312°
E 28.836365°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
N 18.346705°
E 28.833618°		 ← 289.90 m →
84 036 m²		 N 18.346705°
E 28.836365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580097198486328 y=0.448139190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580097198486328 × 217)
    floor (0.580097198486328 × 131072)
    floor (76034.5)     		tx = 76034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448139190673828 × 217)
    floor (0.448139190673828 × 131072)
    floor (58738.5)     		ty = 58738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76034 / 58738 ti = "17/76034/58738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76034/58738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76034 ÷ 217
    76034 ÷ 131072     		x = 0.580093383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58738 ÷ 217
    58738 ÷ 131072     		y = 0.448135375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580093383789062 × 2 - 1) × π
    0.160186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50324157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448135375976562 × 2 - 1) × π
    0.103729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.325875043617142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50324157} λ = 0.50324157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325875043617142))-π/2
    2×atan(1.38524226319509)-π/2
    2×0.945526116099447-π/2
    1.89105223219889-1.57079632675     		φ = 0.32025591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50324157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.833618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32025591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.349312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76034 KachelY 58738 0.50324157 0.32025591 28.833618 18.349312
    Oben rechts KachelX + 1 76035 KachelY 58738 0.50328951 0.32025591 28.836365 18.349312
    Unten links KachelX 76034 KachelY + 1 58739 0.50324157 0.32021041 28.833618 18.346705
    Unten rechts KachelX + 1 76035 KachelY + 1 58739 0.50328951 0.32021041 28.836365 18.346705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32025591-0.32021041) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dl = 289.880499999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32025591-0.32021041) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dr = 289.880499999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50324157-0.50328951) × cos(0.32025591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949154886272113 × 6371000     		do = 289.896333514086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50324157-0.50328951) × cos(0.32021041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94916920912046 × 6371000     		du = 289.900708080641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32025591)-sin(0.32021041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949154886272113-0.94916920912046)×R²
    abs(0.50328951-0.50324157)×1.43228483474589e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43228483474589e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43228483474589e-05×40589641000000     		ar = 84035.928172464m²