Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76032 / 59136
↖ ↑ ↗
← N 17.308688°
E 28.828125°		 ← 291.59 m → N 17.308688°
E 28.830872°		 →
↑
291.54 m
↓
↑
291.54 m
↓
N 17.306066°
E 28.828125°		 ← 291.60 m →
85 011 m²		 N 17.306066°
E 28.830872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580081939697266 y=0.451175689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580081939697266 × 217)
    floor (0.580081939697266 × 131072)
    floor (76032.5)     		tx = 76032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451175689697266 × 217)
    floor (0.451175689697266 × 131072)
    floor (59136.5)     		ty = 59136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76032 / 59136 ti = "17/76032/59136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76032/59136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76032 ÷ 217
    76032 ÷ 131072     		x = 0.580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59136 ÷ 217
    59136 ÷ 131072     		y = 0.451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580078125 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50314570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451171875 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50314570} λ = 0.50314570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306796157568359))-π/2
    2×atan(1.35906390494319)-π/2
    2×0.936444959805361-π/2
    1.87288991961072-1.57079632675     		φ = 0.30209359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50314570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30209359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.308688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76032 KachelY 59136 0.50314570 0.30209359 28.828125 17.308688
    Oben rechts KachelX + 1 76033 KachelY 59136 0.50319364 0.30209359 28.830872 17.308688
    Unten links KachelX 76032 KachelY + 1 59137 0.50314570 0.30204783 28.828125 17.306066
    Unten rechts KachelX + 1 76033 KachelY + 1 59137 0.50319364 0.30204783 28.830872 17.306066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30209359-0.30204783) × R
    4.57600000000058e-05 × 6371000     		dl = 291.536960000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30209359-0.30204783) × R
    4.57600000000058e-05 × 6371000     		dr = 291.536960000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50314570-0.50319364) × cos(0.30209359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954715697752077 × 6371000     		do = 291.594748475353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50314570-0.50319364) × cos(0.30204783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954729311251244 × 6371000     		du = 291.59890638841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30209359)-sin(0.30204783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954715697752077-0.954729311251244)×R²
    abs(0.50319364-0.50314570)×1.36134991665093e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36134991665093e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36134991665093e-05×40589641000000     		ar = 85011.2526299304m²