Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76031 / 54501
↖ ↑ ↗
← N 28.986520°
E 28.825378°		 ← 267.17 m → N 28.986520°
E 28.828125°		 →
↑
267.14 m
↓
↑
267.14 m
↓
N 28.984117°
E 28.825378°		 ← 267.17 m →
71 371 m²		 N 28.984117°
E 28.828125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580074310302734 y=0.415813446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580074310302734 × 217)
    floor (0.580074310302734 × 131072)
    floor (76031.5)     		tx = 76031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415813446044922 × 217)
    floor (0.415813446044922 × 131072)
    floor (54501.5)     		ty = 54501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76031 / 54501 ti = "17/76031/54501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76031/54501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76031 ÷ 217
    76031 ÷ 131072     		x = 0.580070495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54501 ÷ 217
    54501 ÷ 131072     		y = 0.415809631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580070495605469 × 2 - 1) × π
    0.160140991210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.50309776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415809631347656 × 2 - 1) × π
    0.168380737304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.52898368730732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50309776} λ = 0.50309776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52898368730732))-π/2
    2×atan(1.69720653925849)-π/2
    2×1.03835326861988-π/2
    2.07670653723975-1.57079632675     		φ = 0.50591021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50309776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.825378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50591021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.986520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76031 KachelY 54501 0.50309776 0.50591021 28.825378 28.986520
    Oben rechts KachelX + 1 76032 KachelY 54501 0.50314570 0.50591021 28.828125 28.986520
    Unten links KachelX 76031 KachelY + 1 54502 0.50309776 0.50586828 28.825378 28.984117
    Unten rechts KachelX + 1 76032 KachelY + 1 54502 0.50314570 0.50586828 28.828125 28.984117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50591021-0.50586828) × R
    4.19300000000788e-05 × 6371000     		dl = 267.136030000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50591021-0.50586828) × R
    4.19300000000788e-05 × 6371000     		dr = 267.136030000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50309776-0.50314570) × cos(0.50591021) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.874733745583519 × 6371000     		do = 267.166201548261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50309776-0.50314570) × cos(0.50586828) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.874754064253258 × 6371000     		du = 267.172407393002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50591021)-sin(0.50586828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874733745583519-0.874754064253258)×R²
    abs(0.50314570-0.50309776)×2.03186697392832e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.03186697392832e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.03186697392832e-05×40589641000000     		ar = 71370.5473446554m²