Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76030 / 54502
↖ ↑ ↗
← N 28.984117°
E 28.822632°		 ← 267.17 m → N 28.984117°
E 28.825378°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
N 28.981714°
E 28.822632°		 ← 267.18 m →
71 389 m²		 N 28.981714°
E 28.825378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580066680908203 y=0.415821075439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580066680908203 × 217)
    floor (0.580066680908203 × 131072)
    floor (76030.5)     		tx = 76030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415821075439453 × 217)
    floor (0.415821075439453 × 131072)
    floor (54502.5)     		ty = 54502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76030 / 54502 ti = "17/76030/54502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76030/54502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76030 ÷ 217
    76030 ÷ 131072     		x = 0.580062866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54502 ÷ 217
    54502 ÷ 131072     		y = 0.415817260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580062866210938 × 2 - 1) × π
    0.160125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50304982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415817260742188 × 2 - 1) × π
    0.168365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.5289357504077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50304982} λ = 0.50304982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.5289357504077))-π/2
    2×atan(1.697125182389)-π/2
    2×1.03833230236448-π/2
    2.07666460472897-1.57079632675     		φ = 0.50586828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50304982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.822632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50586828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.984117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76030 KachelY 54502 0.50304982 0.50586828 28.822632 28.984117
    Oben rechts KachelX + 1 76031 KachelY 54502 0.50309776 0.50586828 28.825378 28.984117
    Unten links KachelX 76030 KachelY + 1 54503 0.50304982 0.50582634 28.822632 28.981714
    Unten rechts KachelX + 1 76031 KachelY + 1 54503 0.50309776 0.50582634 28.825378 28.981714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50586828-0.50582634) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dl = 267.199739999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50586828-0.50582634) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dr = 267.199739999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50304982-0.50309776) × cos(0.50586828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874754064253258 × 6371000     		do = 267.172407392384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50304982-0.50309776) × cos(0.50582634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874774386230375 × 6371000     		du = 267.178614247283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50586828)-sin(0.50582634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874754064253258-0.874774386230375)×R²
    abs(0.50309776-0.50304982)×2.03219771170993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03219771170993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03219771170993e-05×40589641000000     		ar = 71389.227035781m²