Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7603 / 4258
↖ ↑ ↗
← N 65.053602°
W 12.941894°		 ← 1 030.48 m → N 65.053602°
W 12.919922°		 →
↑
1 030.64 m
↓
↑
1 030.64 m
↓
N 65.044333°
W 12.941894°		 ← 1 030.83 m →
1 062 230 m²		 N 65.044333°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464080810546875 y=0.259918212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464080810546875 × 214)
    floor (0.464080810546875 × 16384)
    floor (7603.5)     		tx = 7603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259918212890625 × 214)
    floor (0.259918212890625 × 16384)
    floor (4258.5)     		ty = 4258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7603 / 4258 ti = "14/7603/4258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7603/4258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7603 ÷ 214
    7603 ÷ 16384     		x = 0.46405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4258 ÷ 214
    4258 ÷ 16384     		y = 0.2598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22587867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2598876953125 × 2 - 1) × π
    0.480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50867010484241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22587867} λ = -0.22587867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50867010484241))-π/2
    2×atan(4.52071471821308)-π/2
    2×1.35309793341331-π/2
    2.70619586682662-1.57079632675     		φ = 1.13539954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22587867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13539954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.053602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7603 KachelY 4258 -0.22587867 1.13539954 -12.941894 65.053602
    Oben rechts KachelX + 1 7604 KachelY 4258 -0.22549518 1.13539954 -12.919922 65.053602
    Unten links KachelX 7603 KachelY + 1 4259 -0.22587867 1.13523777 -12.941894 65.044333
    Unten rechts KachelX + 1 7604 KachelY + 1 4259 -0.22549518 1.13523777 -12.919922 65.044333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13539954-1.13523777) × R
    0.000161770000000061 × 6371000     		dl = 1030.63667000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13539954-1.13523777) × R
    0.000161770000000061 × 6371000     		dr = 1030.63667000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22587867--0.22549518) × cos(1.13539954) × R
    0.000383490000000014 × 0.421770202241302 × 6371000     		do = 1030.47519609728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22587867--0.22549518) × cos(1.13523777) × R
    0.000383490000000014 × 0.421916874027517 × 6371000     		du = 1030.83354677464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13539954)-sin(1.13523777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421770202241302-0.421916874027517)×R²
    abs(-0.22549518--0.22587867)×0.00014667178621558×R²
    0.000383490000000014×0.00014667178621558×6371000²
    0.000383490000000014×0.00014667178621558×40589641000000     		ar = 1062230.19161458m²