Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7603 / 4167
↖ ↑ ↗
← N 65.883704°
W 12.941894°		 ← 998.27 m → N 65.883704°
W 12.919922°		 →
↑
998.46 m
↓
↑
998.46 m
↓
N 65.874725°
W 12.941894°		 ← 998.62 m →
996 914 m²		 N 65.874725°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464080810546875 y=0.254364013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464080810546875 × 214)
    floor (0.464080810546875 × 16384)
    floor (7603.5)     		tx = 7603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254364013671875 × 214)
    floor (0.254364013671875 × 16384)
    floor (4167.5)     		ty = 4167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7603 / 4167 ti = "14/7603/4167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7603/4167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7603 ÷ 214
    7603 ÷ 16384     		x = 0.46405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4167 ÷ 214
    4167 ÷ 16384     		y = 0.25433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22587867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25433349609375 × 2 - 1) × π
    0.4913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.54356816776581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22587867} λ = -0.22587867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54356816776581))-π/2
    2×atan(4.68126404134812)-π/2
    2×1.36034194294265-π/2
    2.72068388588531-1.57079632675     		φ = 1.14988756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22587867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14988756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.883704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7603 KachelY 4167 -0.22587867 1.14988756 -12.941894 65.883704
    Oben rechts KachelX + 1 7604 KachelY 4167 -0.22549518 1.14988756 -12.919922 65.883704
    Unten links KachelX 7603 KachelY + 1 4168 -0.22587867 1.14973084 -12.941894 65.874725
    Unten rechts KachelX + 1 7604 KachelY + 1 4168 -0.22549518 1.14973084 -12.919922 65.874725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14988756-1.14973084) × R
    0.00015672000000011 × 6371000     		dl = 998.463120000701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14988756-1.14973084) × R
    0.00015672000000011 × 6371000     		dr = 998.463120000701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22587867--0.22549518) × cos(1.14988756) × R
    0.000383490000000014 × 0.408590069479181 × 6371000     		do = 998.273300798699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22587867--0.22549518) × cos(1.14973084) × R
    0.000383490000000014 × 0.408733105626485 × 6371000     		du = 998.622768829297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14988756)-sin(1.14973084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408590069479181-0.408733105626485)×R²
    abs(-0.22549518--0.22587867)×0.000143036147304265×R²
    0.000383490000000014×0.000143036147304265×6371000²
    0.000383490000000014×0.000143036147304265×40589641000000     		ar = 996913.542039388m²