Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7603 / 4109
↖ ↑ ↗
← N 66.399160°
W 12.941894°		 ← 978.17 m → N 66.399160°
W 12.919922°		 →
↑
978.33 m
↓
↑
978.33 m
↓
N 66.390362°
W 12.941894°		 ← 978.52 m →
957 143 m²		 N 66.390362°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464080810546875 y=0.250823974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464080810546875 × 214)
    floor (0.464080810546875 × 16384)
    floor (7603.5)     		tx = 7603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250823974609375 × 214)
    floor (0.250823974609375 × 16384)
    floor (4109.5)     		ty = 4109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7603 / 4109 ti = "14/7603/4109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7603/4109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7603 ÷ 214
    7603 ÷ 16384     		x = 0.46405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4109 ÷ 214
    4109 ÷ 16384     		y = 0.25079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22587867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25079345703125 × 2 - 1) × π
    0.4984130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56581088918951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22587867} λ = -0.22587867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56581088918951))-π/2
    2×atan(4.78655472812594)-π/2
    2×1.36484014465462-π/2
    2.72968028930924-1.57079632675     		φ = 1.15888396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22587867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15888396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.399160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7603 KachelY 4109 -0.22587867 1.15888396 -12.941894 66.399160
    Oben rechts KachelX + 1 7604 KachelY 4109 -0.22549518 1.15888396 -12.919922 66.399160
    Unten links KachelX 7603 KachelY + 1 4110 -0.22587867 1.15873040 -12.941894 66.390362
    Unten rechts KachelX + 1 7604 KachelY + 1 4110 -0.22549518 1.15873040 -12.919922 66.390362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15888396-1.15873040) × R
    0.000153559999999997 × 6371000     		dl = 978.330759999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15888396-1.15873040) × R
    0.000153559999999997 × 6371000     		dr = 978.330759999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22587867--0.22549518) × cos(1.15888396) × R
    0.000383490000000014 × 0.400362469437675 × 6371000     		do = 978.171506691085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22587867--0.22549518) × cos(1.15873040) × R
    0.000383490000000014 × 0.400503180475984 × 6371000     		du = 978.515293980999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15888396)-sin(1.15873040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400362469437675-0.400503180475984)×R²
    abs(-0.22549518--0.22587867)×0.000140711038309149×R²
    0.000383490000000014×0.000140711038309149×6371000²
    0.000383490000000014×0.000140711038309149×40589641000000     		ar = 957143.444271728m²