Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76029 / 56784
↖ ↑ ↗
← N 23.362429°
E 28.819885°		 ← 280.33 m → N 23.362429°
E 28.822632°		 →
↑
280.39 m
↓
↑
280.39 m
↓
N 23.359907°
E 28.819885°		 ← 280.33 m →
78 601 m²		 N 23.359907°
E 28.822632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580059051513672 y=0.433231353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580059051513672 × 217)
    floor (0.580059051513672 × 131072)
    floor (76029.5)     		tx = 76029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433231353759766 × 217)
    floor (0.433231353759766 × 131072)
    floor (56784.5)     		ty = 56784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76029 / 56784 ti = "17/76029/56784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76029/56784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76029 ÷ 217
    76029 ÷ 131072     		x = 0.580055236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56784 ÷ 217
    56784 ÷ 131072     		y = 0.4332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580055236816406 × 2 - 1) × π
    0.160110473632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.50300189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4332275390625 × 2 - 1) × π
    0.133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.419543745474731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50300189} λ = 0.50300189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419543745474731))-π/2
    2×atan(1.5212673121595)-π/2
    2×0.98927381350047-π/2
    1.97854762700094-1.57079632675     		φ = 0.40775130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50300189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.819885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40775130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.362429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76029 KachelY 56784 0.50300189 0.40775130 28.819885 23.362429
    Oben rechts KachelX + 1 76030 KachelY 56784 0.50304982 0.40775130 28.822632 23.362429
    Unten links KachelX 76029 KachelY + 1 56785 0.50300189 0.40770729 28.819885 23.359907
    Unten rechts KachelX + 1 76030 KachelY + 1 56785 0.50304982 0.40770729 28.822632 23.359907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40775130-0.40770729) × R
    4.40099999999832e-05 × 6371000     		dl = 280.387709999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40775130-0.40770729) × R
    4.40099999999832e-05 × 6371000     		dr = 280.387709999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50300189-0.50304982) × cos(0.40775130) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.918014856077718 × 6371000     		do = 280.326880022221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50300189-0.50304982) × cos(0.40770729) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.918032307177791 × 6371000     		du = 280.332208925566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40775130)-sin(0.40770729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918014856077718-0.918032307177791)×R²
    abs(0.50304982-0.50300189)×1.74511000737843e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74511000737843e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74511000737843e-05×40589641000000     		ar = 78600.9590329751m²