Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76024 / 54522
↖ ↑ ↗
← N 28.936054°
E 28.806152°		 ← 267.30 m → N 28.936054°
E 28.808899°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
N 28.933651°
E 28.806152°		 ← 267.30 m →
71 439 m²		 N 28.933651°
E 28.808899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580020904541016 y=0.415973663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580020904541016 × 217)
    floor (0.580020904541016 × 131072)
    floor (76024.5)     		tx = 76024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415973663330078 × 217)
    floor (0.415973663330078 × 131072)
    floor (54522.5)     		ty = 54522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76024 / 54522 ti = "17/76024/54522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76024/54522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76024 ÷ 217
    76024 ÷ 131072     		x = 0.58001708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54522 ÷ 217
    54522 ÷ 131072     		y = 0.415969848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58001708984375 × 2 - 1) × π
    0.1600341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50276220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415969848632812 × 2 - 1) × π
    0.168060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.527977012415298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50276220} λ = 0.50276220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527977012415298))-π/2
    2×atan(1.6954988637301)-π/2
    2×1.03791287501572-π/2
    2.07582575003144-1.57079632675     		φ = 0.50502942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50276220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.806152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50502942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.936054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76024 KachelY 54522 0.50276220 0.50502942 28.806152 28.936054
    Oben rechts KachelX + 1 76025 KachelY 54522 0.50281014 0.50502942 28.808899 28.936054
    Unten links KachelX 76024 KachelY + 1 54523 0.50276220 0.50498747 28.806152 28.933651
    Unten rechts KachelX + 1 76025 KachelY + 1 54523 0.50281014 0.50498747 28.808899 28.933651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50502942-0.50498747) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dl = 267.263449999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50502942-0.50498747) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dr = 267.263449999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50276220-0.50281014) × cos(0.50502942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875160240432561 × 6371000     		do = 267.296464052518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50276220-0.50281014) × cos(0.50498747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875180536464727 × 6371000     		du = 267.302662983161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50502942)-sin(0.50498747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875160240432561-0.875180536464727)×R²
    abs(0.50281014-0.50276220)×2.02960321654677e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02960321654677e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02960321654677e-05×40589641000000     		ar = 71439.4035396583m²