Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76024 / 54520
↖ ↑ ↗
← N 28.940862°
E 28.806152°		 ← 267.28 m → N 28.940862°
E 28.808899°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
N 28.938458°
E 28.806152°		 ← 267.29 m →
71 436 m²		 N 28.938458°
E 28.808899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580020904541016 y=0.415958404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580020904541016 × 217)
    floor (0.580020904541016 × 131072)
    floor (76024.5)     		tx = 76024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415958404541016 × 217)
    floor (0.415958404541016 × 131072)
    floor (54520.5)     		ty = 54520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76024 / 54520 ti = "17/76024/54520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76024/54520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76024 ÷ 217
    76024 ÷ 131072     		x = 0.58001708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54520 ÷ 217
    54520 ÷ 131072     		y = 0.41595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58001708984375 × 2 - 1) × π
    0.1600341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50276220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41595458984375 × 2 - 1) × π
    0.1680908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.528072886214539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50276220} λ = 0.50276220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528072886214539))-π/2
    2×atan(1.69566142544035)-π/2
    2×1.03795482651118-π/2
    2.07590965302237-1.57079632675     		φ = 0.50511333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50276220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.806152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50511333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.940862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76024 KachelY 54520 0.50276220 0.50511333 28.806152 28.940862
    Oben rechts KachelX + 1 76025 KachelY 54520 0.50281014 0.50511333 28.808899 28.940862
    Unten links KachelX 76024 KachelY + 1 54521 0.50276220 0.50507138 28.806152 28.938458
    Unten rechts KachelX + 1 76025 KachelY + 1 54521 0.50281014 0.50507138 28.808899 28.938458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50511333-0.50507138) × R
    4.19500000000683e-05 × 6371000     		dl = 267.263450000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50511333-0.50507138) × R
    4.19500000000683e-05 × 6371000     		dr = 267.263450000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50276220-0.50281014) × cos(0.50511333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875119638908872 × 6371000     		do = 267.2840633021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50276220-0.50281014) × cos(0.50507138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875139938021588 × 6371000     		du = 267.290263173622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50511333)-sin(0.50507138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875119638908872-0.875139938021588)×R²
    abs(0.50281014-0.50276220)×2.0299112715283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0299112715283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0299112715283e-05×40589641000000     		ar = 71436.0893982206m²