Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76022 / 54521
↖ ↑ ↗
← N 28.938458°
E 28.800659°		 ← 267.29 m → N 28.938458°
E 28.803406°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
N 28.936054°
E 28.800659°		 ← 267.30 m →
71 455 m²		 N 28.936054°
E 28.803406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580005645751953 y=0.415966033935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580005645751953 × 217)
    floor (0.580005645751953 × 131072)
    floor (76022.5)     		tx = 76022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415966033935547 × 217)
    floor (0.415966033935547 × 131072)
    floor (54521.5)     		ty = 54521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76022 / 54521 ti = "17/76022/54521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76022/54521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76022 ÷ 217
    76022 ÷ 131072     		x = 0.580001831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54521 ÷ 217
    54521 ÷ 131072     		y = 0.415962219238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580001831054688 × 2 - 1) × π
    0.160003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50266633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415962219238281 × 2 - 1) × π
    0.168075561523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.528024949314919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50266633} λ = 0.50266633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528024949314919))-π/2
    2×atan(1.69558014263705)-π/2
    2×1.03793385100672-π/2
    2.07586770201344-1.57079632675     		φ = 0.50507138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50266633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.800659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50507138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.938458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76022 KachelY 54521 0.50266633 0.50507138 28.800659 28.938458
    Oben rechts KachelX + 1 76023 KachelY 54521 0.50271427 0.50507138 28.803406 28.938458
    Unten links KachelX 76022 KachelY + 1 54522 0.50266633 0.50502942 28.800659 28.936054
    Unten rechts KachelX + 1 76023 KachelY + 1 54522 0.50271427 0.50502942 28.803406 28.936054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50507138-0.50502942) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dl = 267.327160000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50507138-0.50502942) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dr = 267.327160000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50266633-0.50271427) × cos(0.50507138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875139938021588 × 6371000     		do = 267.290263173622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50266633-0.50271427) × cos(0.50502942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875160240432561 × 6371000     		du = 267.296464052518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50507138)-sin(0.50502942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875139938021588-0.875160240432561)×R²
    abs(0.50271427-0.50266633)×2.03024109736161e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03024109736161e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03024109736161e-05×40589641000000     		ar = 71454.7757920954m²