Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76021 / 56849
↖ ↑ ↗
← N 23.198437°
E 28.797912°		 ← 280.73 m → N 23.198437°
E 28.800659°		 →
↑
280.77 m
↓
↑
280.77 m
↓
N 23.195912°
E 28.797912°		 ← 280.74 m →
78 822 m²		 N 23.195912°
E 28.800659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579998016357422 y=0.433727264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579998016357422 × 217)
    floor (0.579998016357422 × 131072)
    floor (76021.5)     		tx = 76021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433727264404297 × 217)
    floor (0.433727264404297 × 131072)
    floor (56849.5)     		ty = 56849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76021 / 56849 ti = "17/76021/56849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76021/56849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76021 ÷ 217
    76021 ÷ 131072     		x = 0.579994201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56849 ÷ 217
    56849 ÷ 131072     		y = 0.433723449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579994201660156 × 2 - 1) × π
    0.159988403320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.50261839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433723449707031 × 2 - 1) × π
    0.132553100585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.416427846999428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50261839} λ = 0.50261839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416427846999428))-π/2
    2×atan(1.5165345748546)-π/2
    2×0.987842710956625-π/2
    1.97568542191325-1.57079632675     		φ = 0.40488910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50261839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.797912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40488910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.198437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76021 KachelY 56849 0.50261839 0.40488910 28.797912 23.198437
    Oben rechts KachelX + 1 76022 KachelY 56849 0.50266633 0.40488910 28.800659 23.198437
    Unten links KachelX 76021 KachelY + 1 56850 0.50261839 0.40484503 28.797912 23.195912
    Unten rechts KachelX + 1 76022 KachelY + 1 56850 0.50266633 0.40484503 28.800659 23.195912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40488910-0.40484503) × R
    4.40700000000072e-05 × 6371000     		dl = 280.769970000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40488910-0.40484503) × R
    4.40700000000072e-05 × 6371000     		dr = 280.769970000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50261839-0.50266633) × cos(0.40488910) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.919146088194277 × 6371000     		do = 280.730874155308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50261839-0.50266633) × cos(0.40484503) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.919163447216381 × 6371000     		du = 280.73617604748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40488910)-sin(0.40484503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919146088194277-0.919163447216381)×R²
    abs(0.50266633-0.50261839)×1.73590221034248e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.73590221034248e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.73590221034248e-05×40589641000000     		ar = 78821.5434334463m²