Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7602 / 5042
↖ ↑ ↗
← N 56.728622°
W 12.963867°		 ← 1 340.40 m → N 56.728622°
W 12.941894°		 →
↑
1 340.59 m
↓
↑
1 340.59 m
↓
N 56.716566°
W 12.963867°		 ← 1 340.83 m →
1 797 203 m²		 N 56.716566°
W 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464019775390625 y=0.307769775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464019775390625 × 214)
    floor (0.464019775390625 × 16384)
    floor (7602.5)     		tx = 7602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307769775390625 × 214)
    floor (0.307769775390625 × 16384)
    floor (5042.5)     		ty = 5042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7602 / 5042 ti = "14/7602/5042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7602/5042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7602 ÷ 214
    7602 ÷ 16384     		x = 0.4639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5042 ÷ 214
    5042 ÷ 16384     		y = 0.3077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3077392578125 × 2 - 1) × π
    0.384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20800987042541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22626217} λ = -0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20800987042541))-π/2
    2×atan(3.34681742009284)-π/2
    2×1.28044878016323-π/2
    2.56089756032646-1.57079632675     		φ = 0.99010123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99010123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.728622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7602 KachelY 5042 -0.22626217 0.99010123 -12.963867 56.728622
    Oben rechts KachelX + 1 7603 KachelY 5042 -0.22587867 0.99010123 -12.941894 56.728622
    Unten links KachelX 7602 KachelY + 1 5043 -0.22626217 0.98989081 -12.963867 56.716566
    Unten rechts KachelX + 1 7603 KachelY + 1 5043 -0.22587867 0.98989081 -12.941894 56.716566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99010123-0.98989081) × R
    0.000210420000000044 × 6371000     		dl = 1340.58582000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99010123-0.98989081) × R
    0.000210420000000044 × 6371000     		dr = 1340.58582000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22626217--0.22587867) × cos(0.99010123) × R
    0.000383500000000009 × 0.548605226860565 × 6371000     		do = 1340.39535577607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22626217--0.22587867) × cos(0.98989081) × R
    0.000383500000000009 × 0.548781142987144 × 6371000     		du = 1340.82516786595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99010123)-sin(0.98989081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548605226860565-0.548781142987144)×R²
    abs(-0.22587867--0.22626217)×0.000175916126579079×R²
    0.000383500000000009×0.000175916126579079×6371000²
    0.000383500000000009×0.000175916126579079×40589641000000     		ar = 1797203.11377435m²