Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7602 / 4066
↖ ↑ ↗
← N 66.774586°
W 12.963867°		 ← 963.51 m → N 66.774586°
W 12.941894°		 →
↑
963.68 m
↓
↑
963.68 m
↓
N 66.765919°
W 12.963867°		 ← 963.85 m →
928 672 m²		 N 66.765919°
W 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464019775390625 y=0.248199462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464019775390625 × 214)
    floor (0.464019775390625 × 16384)
    floor (7602.5)     		tx = 7602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248199462890625 × 214)
    floor (0.248199462890625 × 16384)
    floor (4066.5)     		ty = 4066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7602 / 4066 ti = "14/7602/4066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7602/4066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7602 ÷ 214
    7602 ÷ 16384     		x = 0.4639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4066 ÷ 214
    4066 ÷ 16384     		y = 0.2481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2481689453125 × 2 - 1) × π
    0.503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58230118265881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22626217} λ = -0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58230118265881))-π/2
    2×atan(4.86614081579303)-π/2
    2×1.36811635251343-π/2
    2.73623270502686-1.57079632675     		φ = 1.16543638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16543638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.774586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7602 KachelY 4066 -0.22626217 1.16543638 -12.963867 66.774586
    Oben rechts KachelX + 1 7603 KachelY 4066 -0.22587867 1.16543638 -12.941894 66.774586
    Unten links KachelX 7602 KachelY + 1 4067 -0.22626217 1.16528512 -12.963867 66.765919
    Unten rechts KachelX + 1 7603 KachelY + 1 4067 -0.22587867 1.16528512 -12.941894 66.765919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16543638-1.16528512) × R
    0.000151259999999986 × 6371000     		dl = 963.677459999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16543638-1.16528512) × R
    0.000151259999999986 × 6371000     		dr = 963.677459999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22626217--0.22587867) × cos(1.16543638) × R
    0.000383500000000009 × 0.394349562800809 × 6371000     		do = 963.505808275639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22626217--0.22587867) × cos(1.16528512) × R
    0.000383500000000009 × 0.394488560256022 × 6371000     		du = 963.845417769516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16543638)-sin(1.16528512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394349562800809-0.394488560256022)×R²
    abs(-0.22587867--0.22626217)×0.000138997455213008×R²
    0.000383500000000009×0.000138997455213008×6371000²
    0.000383500000000009×0.000138997455213008×40589641000000     		ar = 928672.468792506m²