Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7602 / 3323
↖ ↑ ↗
← N 72.428902°
W 12.963867°		 ← 737.60 m → N 72.428902°
W 12.941894°		 →
↑
737.70 m
↓
↑
737.70 m
↓
N 72.422268°
W 12.963867°		 ← 737.87 m →
544 225 m²		 N 72.422268°
W 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464019775390625 y=0.202850341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464019775390625 × 214)
    floor (0.464019775390625 × 16384)
    floor (7602.5)     		tx = 7602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202850341796875 × 214)
    floor (0.202850341796875 × 16384)
    floor (3323.5)     		ty = 3323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7602 / 3323 ti = "14/7602/3323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7602/3323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7602 ÷ 214
    7602 ÷ 16384     		x = 0.4639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3323 ÷ 214
    3323 ÷ 16384     		y = 0.20281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20281982421875 × 2 - 1) × π
    0.5943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.86723811400043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22626217} λ = -0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86723811400043))-π/2
    2×atan(6.47040118794269)-π/2
    2×1.41745957499268-π/2
    2.83491914998537-1.57079632675     		φ = 1.26412282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26412282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.428902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7602 KachelY 3323 -0.22626217 1.26412282 -12.963867 72.428902
    Oben rechts KachelX + 1 7603 KachelY 3323 -0.22587867 1.26412282 -12.941894 72.428902
    Unten links KachelX 7602 KachelY + 1 3324 -0.22626217 1.26400703 -12.963867 72.422268
    Unten rechts KachelX + 1 7603 KachelY + 1 3324 -0.22587867 1.26400703 -12.941894 72.422268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26412282-1.26400703) × R
    0.000115790000000171 × 6371000     		dl = 737.69809000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26412282-1.26400703) × R
    0.000115790000000171 × 6371000     		dr = 737.69809000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22626217--0.22587867) × cos(1.26412282) × R
    0.000383500000000009 × 0.301889023316395 × 6371000     		do = 737.598960054965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22626217--0.22587867) × cos(1.26400703) × R
    0.000383500000000009 × 0.301999408886977 × 6371000     		du = 737.868662746278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26412282)-sin(1.26400703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301889023316395-0.301999408886977)×R²
    abs(-0.22587867--0.22626217)×0.000110385570582017×R²
    0.000383500000000009×0.000110385570582017×6371000²
    0.000383500000000009×0.000110385570582017×40589641000000     		ar = 544224.824207799m²