Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76018 / 61998
↖ ↑ ↗
← N  9.671153°
E 28.789673°		 ← 301.09 m → N  9.671153°
E 28.792420°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
N  9.668446°
E 28.789673°		 ← 301.09 m →
90 636 m²		 N  9.668446°
E 28.792420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579975128173828 y=0.473011016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579975128173828 × 217)
    floor (0.579975128173828 × 131072)
    floor (76018.5)     		tx = 76018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.473011016845703 × 217)
    floor (0.473011016845703 × 131072)
    floor (61998.5)     		ty = 61998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76018 / 61998 ti = "17/76018/61998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76018/61998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76018 ÷ 217
    76018 ÷ 131072     		x = 0.579971313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61998 ÷ 217
    61998 ÷ 131072     		y = 0.473007202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579971313476562 × 2 - 1) × π
    0.159942626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50247458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.473007202148438 × 2 - 1) × π
    0.053985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.169600750855759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50247458} λ = 0.50247458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.169600750855759))-π/2
    2×atan(1.18483171382896)-π/2
    2×0.869794899220468-π/2
    1.73958979844094-1.57079632675     		φ = 0.16879347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50247458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.789673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16879347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.671153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76018 KachelY 61998 0.50247458 0.16879347 28.789673 9.671153
    Oben rechts KachelX + 1 76019 KachelY 61998 0.50252252 0.16879347 28.792420 9.671153
    Unten links KachelX 76018 KachelY + 1 61999 0.50247458 0.16874622 28.789673 9.668446
    Unten rechts KachelX + 1 76019 KachelY + 1 61999 0.50252252 0.16874622 28.792420 9.668446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16879347-0.16874622) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16879347-0.16874622) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50247458-0.50252252) × cos(0.16879347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.985788173074656 × 6371000     		do = 301.085082244377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50247458-0.50252252) × cos(0.16874622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.985796109647674 × 6371000     		du = 301.087506278064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16879347)-sin(0.16874622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985788173074656-0.985796109647674)×R²
    abs(0.50252252-0.50247458)×7.93657301778605e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.93657301778605e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.93657301778605e-06×40589641000000     		ar = 90635.9319067548m²