Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76016 / 54516
↖ ↑ ↗
← N 28.950476°
E 28.784180°		 ← 267.20 m → N 28.950476°
E 28.786926°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
N 28.948072°
E 28.784180°		 ← 267.21 m →
71 415 m²		 N 28.948072°
E 28.786926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579959869384766 y=0.415927886962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579959869384766 × 217)
    floor (0.579959869384766 × 131072)
    floor (76016.5)     		tx = 76016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415927886962891 × 217)
    floor (0.415927886962891 × 131072)
    floor (54516.5)     		ty = 54516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76016 / 54516 ti = "17/76016/54516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76016/54516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76016 ÷ 217
    76016 ÷ 131072     		x = 0.5799560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54516 ÷ 217
    54516 ÷ 131072     		y = 0.415924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5799560546875 × 2 - 1) × π
    0.159912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50237871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415924072265625 × 2 - 1) × π
    0.16815185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.528264633813019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50237871} λ = 0.50237871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528264633813019))-π/2
    2×atan(1.69598659562082)-π/2
    2×1.03803872366315-π/2
    2.07607744732631-1.57079632675     		φ = 0.50528112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50237871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.784180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50528112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.950476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76016 KachelY 54516 0.50237871 0.50528112 28.784180 28.950476
    Oben rechts KachelX + 1 76017 KachelY 54516 0.50242664 0.50528112 28.786926 28.950476
    Unten links KachelX 76016 KachelY + 1 54517 0.50237871 0.50523917 28.784180 28.948072
    Unten rechts KachelX + 1 76017 KachelY + 1 54517 0.50242664 0.50523917 28.786926 28.948072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50528112-0.50523917) × R
    4.19500000000683e-05 × 6371000     		dl = 267.263450000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50528112-0.50523917) × R
    4.19500000000683e-05 × 6371000     		dr = 267.263450000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50237871-0.50242664) × cos(0.50528112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.875038431898526 × 6371000     		do = 267.203511892714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50237871-0.50242664) × cos(0.50523917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.875058737170811 × 6371000     		du = 267.209712351879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50528112)-sin(0.50523917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875038431898526-0.875058737170811)×R²
    abs(0.50242664-0.50237871)×2.03052722848041e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.03052722848041e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.03052722848041e-05×40589641000000     		ar = 71414.5610292317m²