Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76013 / 54507
↖ ↑ ↗
← N 28.972104°
E 28.775940°		 ← 267.15 m → N 28.972104°
E 28.778686°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
N 28.969701°
E 28.775940°		 ← 267.15 m →
71 383 m²		 N 28.969701°
E 28.778686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579936981201172 y=0.415859222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579936981201172 × 217)
    floor (0.579936981201172 × 131072)
    floor (76013.5)     		tx = 76013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415859222412109 × 217)
    floor (0.415859222412109 × 131072)
    floor (54507.5)     		ty = 54507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76013 / 54507 ti = "17/76013/54507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76013/54507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76013 ÷ 217
    76013 ÷ 131072     		x = 0.579933166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54507 ÷ 217
    54507 ÷ 131072     		y = 0.415855407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579933166503906 × 2 - 1) × π
    0.159866333007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.50223490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415855407714844 × 2 - 1) × π
    0.168289184570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.528696065909599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50223490} λ = 0.50223490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528696065909599))-π/2
    2×atan(1.69671845653633)-π/2
    2×1.03822746378268-π/2
    2.07645492756535-1.57079632675     		φ = 0.50565860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50223490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.775940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50565860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.972104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76013 KachelY 54507 0.50223490 0.50565860 28.775940 28.972104
    Oben rechts KachelX + 1 76014 KachelY 54507 0.50228283 0.50565860 28.778686 28.972104
    Unten links KachelX 76013 KachelY + 1 54508 0.50223490 0.50561666 28.775940 28.969701
    Unten rechts KachelX + 1 76014 KachelY + 1 54508 0.50228283 0.50561666 28.778686 28.969701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50565860-0.50561666) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dl = 267.199739999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50565860-0.50561666) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dr = 267.199739999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50223490-0.50228283) × cos(0.50565860) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.874855649063849 × 6371000     		do = 267.147696954649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50223490-0.50228283) × cos(0.50561666) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.874875963347861 × 6371000     		du = 267.153900165653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50565860)-sin(0.50561666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874855649063849-0.874875963347861)×R²
    abs(0.50228283-0.50223490)×2.03142840119463e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.03142840119463e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.03142840119463e-05×40589641000000     		ar = 71382.6239263713m²