Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76011 / 54540
↖ ↑ ↗
← N 28.892779°
E 28.770447°		 ← 267.41 m → N 28.892779°
E 28.773193°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 28.890374°
E 28.770447°		 ← 267.41 m →
71 503 m²		 N 28.890374°
E 28.773193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579921722412109 y=0.416110992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579921722412109 × 217)
    floor (0.579921722412109 × 131072)
    floor (76011.5)     		tx = 76011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416110992431641 × 217)
    floor (0.416110992431641 × 131072)
    floor (54540.5)     		ty = 54540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76011 / 54540 ti = "17/76011/54540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76011/54540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76011 ÷ 217
    76011 ÷ 131072     		x = 0.579917907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54540 ÷ 217
    54540 ÷ 131072     		y = 0.416107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579917907714844 × 2 - 1) × π
    0.159835815429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.50213902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416107177734375 × 2 - 1) × π
    0.16778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.527114148222137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50213902} λ = 0.50213902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527114148222137))-π/2
    2×atan(1.69403650946834)-π/2
    2×1.03753522400909-π/2
    2.07507044801818-1.57079632675     		φ = 0.50427412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50213902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.770447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50427412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.892779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76011 KachelY 54540 0.50213902 0.50427412 28.770447 28.892779
    Oben rechts KachelX + 1 76012 KachelY 54540 0.50218696 0.50427412 28.773193 28.892779
    Unten links KachelX 76011 KachelY + 1 54541 0.50213902 0.50423215 28.770447 28.890374
    Unten rechts KachelX + 1 76012 KachelY + 1 54541 0.50218696 0.50423215 28.773193 28.890374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50427412-0.50423215) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dl = 267.390870000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50427412-0.50423215) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dr = 267.390870000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50213902-0.50218696) × cos(0.50427412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875525429974662 × 6371000     		do = 267.408002338654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50213902-0.50218696) × cos(0.50423215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875545707934118 × 6371000     		du = 267.414195749426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50427412)-sin(0.50423215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875525429974662-0.875545707934118)×R²
    abs(0.50218696-0.50213902)×2.02779594555835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02779594555835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02779594555835e-05×40589641000000     		ar = 71503.2864316163m²