Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7601 / 4171
↖ ↑ ↗
← N 65.847768°
W 12.985840°		 ← 999.67 m → N 65.847768°
W 12.963867°		 →
↑
999.86 m
↓
↑
999.86 m
↓
N 65.838776°
W 12.985840°		 ← 1 000.02 m →
999 711 m²		 N 65.838776°
W 12.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463958740234375 y=0.254608154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463958740234375 × 214)
    floor (0.463958740234375 × 16384)
    floor (7601.5)     		tx = 7601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254608154296875 × 214)
    floor (0.254608154296875 × 16384)
    floor (4171.5)     		ty = 4171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7601 / 4171 ti = "14/7601/4171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7601/4171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7601 ÷ 214
    7601 ÷ 16384     		x = 0.46392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4171 ÷ 214
    4171 ÷ 16384     		y = 0.25457763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22664566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25457763671875 × 2 - 1) × π
    0.4908447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54203418697797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22664566} λ = -0.22664566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54203418697797))-π/2
    2×atan(4.67408857716502)-π/2
    2×1.36002833881815-π/2
    2.7200566776363-1.57079632675     		φ = 1.14926035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22664566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.985840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14926035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.847768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7601 KachelY 4171 -0.22664566 1.14926035 -12.985840 65.847768
    Oben rechts KachelX + 1 7602 KachelY 4171 -0.22626217 1.14926035 -12.963867 65.847768
    Unten links KachelX 7601 KachelY + 1 4172 -0.22664566 1.14910341 -12.985840 65.838776
    Unten rechts KachelX + 1 7602 KachelY + 1 4172 -0.22626217 1.14910341 -12.963867 65.838776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14926035-1.14910341) × R
    0.000156940000000105 × 6371000     		dl = 999.864740000671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14926035-1.14910341) × R
    0.000156940000000105 × 6371000     		dr = 999.864740000671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22664566--0.22626217) × cos(1.14926035) × R
    0.000383489999999986 × 0.40916245493293 × 6371000     		do = 999.671761404807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22664566--0.22626217) × cos(1.14910341) × R
    0.000383489999999986 × 0.409305651609581 × 6371000     		du = 1000.02162164308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14926035)-sin(1.14910341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40916245493293-0.409305651609581)×R²
    abs(-0.22626217--0.22664566)×0.000143196676651192×R²
    0.000383489999999986×0.000143196676651192×6371000²
    0.000383489999999986×0.000143196676651192×40589641000000     		ar = 999711.45431379m²