Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7601 / 4052
↖ ↑ ↗
← N 66.895596°
W 12.985840°		 ← 958.74 m → N 66.895596°
W 12.963867°		 →
↑
958.90 m
↓
↑
958.90 m
↓
N 66.886972°
W 12.985840°		 ← 959.07 m →
919 494 m²		 N 66.886972°
W 12.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463958740234375 y=0.247344970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463958740234375 × 214)
    floor (0.463958740234375 × 16384)
    floor (7601.5)     		tx = 7601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247344970703125 × 214)
    floor (0.247344970703125 × 16384)
    floor (4052.5)     		ty = 4052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7601 / 4052 ti = "14/7601/4052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7601/4052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7601 ÷ 214
    7601 ÷ 16384     		x = 0.46392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4052 ÷ 214
    4052 ÷ 16384     		y = 0.247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22664566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247314453125 × 2 - 1) × π
    0.50537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58767011541626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22664566} λ = -0.22664566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58767011541626))-π/2
    2×atan(4.89233705862794)-π/2
    2×1.36917236263941-π/2
    2.73834472527881-1.57079632675     		φ = 1.16754840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22664566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.985840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16754840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.895596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7601 KachelY 4052 -0.22664566 1.16754840 -12.985840 66.895596
    Oben rechts KachelX + 1 7602 KachelY 4052 -0.22626217 1.16754840 -12.963867 66.895596
    Unten links KachelX 7601 KachelY + 1 4053 -0.22664566 1.16739789 -12.985840 66.886972
    Unten rechts KachelX + 1 7602 KachelY + 1 4053 -0.22626217 1.16739789 -12.963867 66.886972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16754840-1.16739789) × R
    0.000150510000000104 × 6371000     		dl = 958.89921000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16754840-1.16739789) × R
    0.000150510000000104 × 6371000     		dr = 958.89921000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22664566--0.22626217) × cos(1.16754840) × R
    0.000383489999999986 × 0.392407821740388 × 6371000     		do = 958.736593787766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22664566--0.22626217) × cos(1.16739789) × R
    0.000383489999999986 × 0.392546255089161 × 6371000     		du = 959.074816192916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16754840)-sin(1.16739789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392407821740388-0.392546255089161)×R²
    abs(-0.22626217--0.22664566)×0.000138433348772449×R²
    0.000383489999999986×0.000138433348772449×6371000²
    0.000383489999999986×0.000138433348772449×40589641000000     		ar = 919493.924717012m²