Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76008 / 54538
↖ ↑ ↗
← N 28.897588°
E 28.762207°		 ← 267.40 m → N 28.897588°
E 28.764954°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 28.895183°
E 28.762207°		 ← 267.40 m →
71 500 m²		 N 28.895183°
E 28.764954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579898834228516 y=0.416095733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579898834228516 × 217)
    floor (0.579898834228516 × 131072)
    floor (76008.5)     		tx = 76008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416095733642578 × 217)
    floor (0.416095733642578 × 131072)
    floor (54538.5)     		ty = 54538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76008 / 54538 ti = "17/76008/54538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76008/54538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76008 ÷ 217
    76008 ÷ 131072     		x = 0.57989501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54538 ÷ 217
    54538 ÷ 131072     		y = 0.416091918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57989501953125 × 2 - 1) × π
    0.1597900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50199521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416091918945312 × 2 - 1) × π
    0.167816162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.527210022021378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50199521} λ = 0.50199521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527210022021378))-π/2
    2×atan(1.69419893097041)-π/2
    2×1.03757719301158-π/2
    2.07515438602316-1.57079632675     		φ = 0.50435806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50199521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.762207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50435806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.897588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76008 KachelY 54538 0.50199521 0.50435806 28.762207 28.897588
    Oben rechts KachelX + 1 76009 KachelY 54538 0.50204315 0.50435806 28.764954 28.897588
    Unten links KachelX 76008 KachelY + 1 54539 0.50199521 0.50431609 28.762207 28.895183
    Unten rechts KachelX + 1 76009 KachelY + 1 54539 0.50204315 0.50431609 28.764954 28.895183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50435806-0.50431609) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dl = 267.390870000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50435806-0.50431609) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dr = 267.390870000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50199521-0.50204315) × cos(0.50435806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875484869429123 × 6371000     		do = 267.395614104018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50199521-0.50204315) × cos(0.50431609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875505150472985 × 6371000     		du = 267.401808456847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50435806)-sin(0.50431609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875484869429123-0.875505150472985)×R²
    abs(0.50204315-0.50199521)×2.02810438625356e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02810438625356e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02810438625356e-05×40589641000000     		ar = 71499.974056802m²