Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76006 / 58635
↖ ↑ ↗
← N 18.617616°
E 28.756714°		 ← 289.44 m → N 18.617616°
E 28.759461°		 →
↑
289.43 m
↓
↑
289.43 m
↓
N 18.615013°
E 28.756714°		 ← 289.45 m →
83 775 m²		 N 18.615013°
E 28.759461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579883575439453 y=0.447353363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579883575439453 × 217)
    floor (0.579883575439453 × 131072)
    floor (76006.5)     		tx = 76006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447353363037109 × 217)
    floor (0.447353363037109 × 131072)
    floor (58635.5)     		ty = 58635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76006 / 58635 ti = "17/76006/58635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76006/58635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76006 ÷ 217
    76006 ÷ 131072     		x = 0.579879760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58635 ÷ 217
    58635 ÷ 131072     		y = 0.447349548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579879760742188 × 2 - 1) × π
    0.159759521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50189934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447349548339844 × 2 - 1) × π
    0.105300903320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.330812544278007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50189934} λ = 0.50189934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330812544278007))-π/2
    2×atan(1.39209881096004)-π/2
    2×0.947867513801995-π/2
    1.89573502760399-1.57079632675     		φ = 0.32493870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50189934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.756714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32493870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.617616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76006 KachelY 58635 0.50189934 0.32493870 28.756714 18.617616
    Oben rechts KachelX + 1 76007 KachelY 58635 0.50194728 0.32493870 28.759461 18.617616
    Unten links KachelX 76006 KachelY + 1 58636 0.50189934 0.32489327 28.756714 18.615013
    Unten rechts KachelX + 1 76007 KachelY + 1 58636 0.50194728 0.32489327 28.759461 18.615013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32493870-0.32489327) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dl = 289.434530000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32493870-0.32489327) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dr = 289.434530000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50189934-0.50194728) × cos(0.32493870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947670298262888 × 6371000     		do = 289.442902122773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50189934-0.50194728) × cos(0.32489327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947684800843982 × 6371000     		du = 289.447331584336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32493870)-sin(0.32489327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947670298262888-0.947684800843982)×R²
    abs(0.50194728-0.50189934)×1.45025810943666e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45025810943666e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45025810943666e-05×40589641000000     		ar = 83775.411371771m²