Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76006 / 58347
↖ ↑ ↗
← N 19.365567°
E 28.756714°		 ← 288.15 m → N 19.365567°
E 28.759461°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
N 19.362976°
E 28.756714°		 ← 288.15 m →
83 014 m²		 N 19.362976°
E 28.759461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579883575439453 y=0.445156097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579883575439453 × 217)
    floor (0.579883575439453 × 131072)
    floor (76006.5)     		tx = 76006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445156097412109 × 217)
    floor (0.445156097412109 × 131072)
    floor (58347.5)     		ty = 58347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76006 / 58347 ti = "17/76006/58347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76006/58347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76006 ÷ 217
    76006 ÷ 131072     		x = 0.579879760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58347 ÷ 217
    58347 ÷ 131072     		y = 0.445152282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579879760742188 × 2 - 1) × π
    0.159759521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50189934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445152282714844 × 2 - 1) × π
    0.109695434570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.344618371368584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50189934} λ = 0.50189934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344618371368584))-π/2
    2×atan(1.41145116669536)-π/2
    2×0.954394619193818-π/2
    1.90878923838764-1.57079632675     		φ = 0.33799291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50189934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.756714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33799291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.365567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76006 KachelY 58347 0.50189934 0.33799291 28.756714 19.365567
    Oben rechts KachelX + 1 76007 KachelY 58347 0.50194728 0.33799291 28.759461 19.365567
    Unten links KachelX 76006 KachelY + 1 58348 0.50189934 0.33794769 28.756714 19.362976
    Unten rechts KachelX + 1 76007 KachelY + 1 58348 0.50194728 0.33794769 28.759461 19.362976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33799291-0.33794769) × R
    4.5219999999957e-05 × 6371000     		dl = 288.096619999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33799291-0.33794769) × R
    4.5219999999957e-05 × 6371000     		dr = 288.096619999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50189934-0.50194728) × cos(0.33799291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943422104786066 × 6371000     		do = 288.145394486453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50189934-0.50194728) × cos(0.33794769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943437098512484 × 6371000     		du = 288.149973956439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33799291)-sin(0.33794769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943422104786066-0.943437098512484)×R²
    abs(0.50194728-0.50189934)×1.49937264182221e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49937264182221e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49937264182221e-05×40589641000000     		ar = 83014.3738990704m²