Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76002 / 60901
↖ ↑ ↗
← N 12.626938°
E 28.745727°		 ← 298.04 m → N 12.626938°
E 28.748474°		 →
↑
298.04 m
↓
↑
298.04 m
↓
N 12.624258°
E 28.745727°		 ← 298.04 m →
88 827 m²		 N 12.624258°
E 28.748474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579853057861328 y=0.464641571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579853057861328 × 217)
    floor (0.579853057861328 × 131072)
    floor (76002.5)     		tx = 76002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464641571044922 × 217)
    floor (0.464641571044922 × 131072)
    floor (60901.5)     		ty = 60901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76002 / 60901 ti = "17/76002/60901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76002/60901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76002 ÷ 217
    76002 ÷ 131072     		x = 0.579849243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60901 ÷ 217
    60901 ÷ 131072     		y = 0.464637756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579849243164062 × 2 - 1) × π
    0.159698486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50170759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464637756347656 × 2 - 1) × π
    0.0707244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.22218752973896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50170759} λ = 0.50170759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.22218752973896))-π/2
    2×atan(1.24880554408473)-π/2
    2×0.895588983713688-π/2
    1.79117796742738-1.57079632675     		φ = 0.22038164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50170759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.745727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22038164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.626938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76002 KachelY 60901 0.50170759 0.22038164 28.745727 12.626938
    Oben rechts KachelX + 1 76003 KachelY 60901 0.50175553 0.22038164 28.748474 12.626938
    Unten links KachelX 76002 KachelY + 1 60902 0.50170759 0.22033486 28.745727 12.624258
    Unten rechts KachelX + 1 76003 KachelY + 1 60902 0.50175553 0.22033486 28.748474 12.624258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22038164-0.22033486) × R
    4.67799999999963e-05 × 6371000     		dl = 298.035379999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22038164-0.22033486) × R
    4.67799999999963e-05 × 6371000     		dr = 298.035379999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50170759-0.50175553) × cos(0.22038164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975814093109988 × 6371000     		do = 298.038741490352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50170759-0.50175553) × cos(0.22033486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975824318246101 × 6371000     		du = 298.041864510116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22038164)-sin(0.22033486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975814093109988-0.975824318246101)×R²
    abs(0.50175553-0.50170759)×1.02251361132621e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02251361132621e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02251361132621e-05×40589641000000     		ar = 88826.5549761483m²