Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7600 / 7024
↖ ↑ ↗
← N 24.846565°
W 13.007813°		 ← 2 217.12 m → N 24.846565°
W 12.985840°		 →
↑
2 217.24 m
↓
↑
2 217.24 m
↓
N 24.826625°
W 13.007813°		 ← 2 217.48 m →
4 916 272 m²		 N 24.826625°
W 12.985840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463897705078125 y=0.428741455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463897705078125 × 214)
    floor (0.463897705078125 × 16384)
    floor (7600.5)     		tx = 7600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428741455078125 × 214)
    floor (0.428741455078125 × 16384)
    floor (7024.5)     		ty = 7024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7600 / 7024 ti = "14/7600/7024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7600/7024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7600 ÷ 214
    7600 ÷ 16384     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7024 ÷ 214
    7024 ÷ 16384     		y = 0.4287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.447922390049805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447922390049805))-π/2
    2×atan(1.56505722692656)-π/2
    2×1.00222534996082-π/2
    2.00445069992164-1.57079632675     		φ = 0.43365437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43365437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.846565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7600 KachelY 7024 -0.22702916 0.43365437 -13.007813 24.846565
    Oben rechts KachelX + 1 7601 KachelY 7024 -0.22664566 0.43365437 -12.985840 24.846565
    Unten links KachelX 7600 KachelY + 1 7025 -0.22702916 0.43330635 -13.007813 24.826625
    Unten rechts KachelX + 1 7601 KachelY + 1 7025 -0.22664566 0.43330635 -12.985840 24.826625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43365437-0.43330635) × R
    0.000348020000000004 × 6371000     		dl = 2217.23542000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43365437-0.43330635) × R
    0.000348020000000004 × 6371000     		dr = 2217.23542000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22664566) × cos(0.43365437) × R
    0.000383500000000009 × 0.907436283562814 × 6371000     		do = 2217.11956174898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22664566) × cos(0.43330635) × R
    0.000383500000000009 × 0.907582463028877 × 6371000     		du = 2217.47671889555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43365437)-sin(0.43330635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907436283562814-0.907582463028877)×R²
    abs(-0.22664566--0.22702916)×0.000146179466062879×R²
    0.000383500000000009×0.000146179466062879×6371000²
    0.000383500000000009×0.000146179466062879×40589641000000     		ar = 4916272.02304383m²