Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7600 / 4051
↖ ↑ ↗
← N 66.904216°
W 13.007813°		 ← 958.42 m → N 66.904216°
W 12.985840°		 →
↑
958.58 m
↓
↑
958.58 m
↓
N 66.895596°
W 13.007813°		 ← 958.76 m →
918 888 m²		 N 66.895596°
W 12.985840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463897705078125 y=0.247283935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463897705078125 × 214)
    floor (0.463897705078125 × 16384)
    floor (7600.5)     		tx = 7600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247283935546875 × 214)
    floor (0.247283935546875 × 16384)
    floor (4051.5)     		ty = 4051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7600 / 4051 ti = "14/7600/4051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7600/4051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7600 ÷ 214
    7600 ÷ 16384     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4051 ÷ 214
    4051 ÷ 16384     		y = 0.24725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24725341796875 × 2 - 1) × π
    0.5054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58805361061322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58805361061322))-π/2
    2×atan(4.89421360619232)-π/2
    2×1.36924759262791-π/2
    2.73849518525581-1.57079632675     		φ = 1.16769886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16769886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.904216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7600 KachelY 4051 -0.22702916 1.16769886 -13.007813 66.904216
    Oben rechts KachelX + 1 7601 KachelY 4051 -0.22664566 1.16769886 -12.985840 66.904216
    Unten links KachelX 7600 KachelY + 1 4052 -0.22702916 1.16754840 -13.007813 66.895596
    Unten rechts KachelX + 1 7601 KachelY + 1 4052 -0.22664566 1.16754840 -12.985840 66.895596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16769886-1.16754840) × R
    0.000150459999999963 × 6371000     		dl = 958.580659999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16769886-1.16754840) × R
    0.000150459999999963 × 6371000     		dr = 958.580659999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22664566) × cos(1.16769886) × R
    0.000383500000000009 × 0.392269425494818 × 6371000     		do = 958.423453518864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22664566) × cos(1.16754840) × R
    0.000383500000000009 × 0.392407821740388 × 6371000     		du = 958.761594090145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16769886)-sin(1.16754840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392269425494818-0.392407821740388)×R²
    abs(-0.22664566--0.22702916)×0.000138396245569883×R²
    0.000383500000000009×0.000138396245569883×6371000²
    0.000383500000000009×0.000138396245569883×40589641000000     		ar = 918888.255872986m²