Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7600 / 4018
↖ ↑ ↗
← N 67.187000°
W 13.007813°		 ← 947.32 m → N 67.187000°
W 12.985840°		 →
↑
947.50 m
↓
↑
947.50 m
↓
N 67.178479°
W 13.007813°		 ← 947.65 m →
897 739 m²		 N 67.178479°
W 12.985840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463897705078125 y=0.245269775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463897705078125 × 214)
    floor (0.463897705078125 × 16384)
    floor (7600.5)     		tx = 7600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245269775390625 × 214)
    floor (0.245269775390625 × 16384)
    floor (4018.5)     		ty = 4018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7600 / 4018 ti = "14/7600/4018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7600/4018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7600 ÷ 214
    7600 ÷ 16384     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4018 ÷ 214
    4018 ÷ 16384     		y = 0.2452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2452392578125 × 2 - 1) × π
    0.509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.60070895211291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60070895211291))-π/2
    2×atan(4.95654513222142)-π/2
    2×1.37171534286678-π/2
    2.74343068573356-1.57079632675     		φ = 1.17263436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17263436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.187000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7600 KachelY 4018 -0.22702916 1.17263436 -13.007813 67.187000
    Oben rechts KachelX + 1 7601 KachelY 4018 -0.22664566 1.17263436 -12.985840 67.187000
    Unten links KachelX 7600 KachelY + 1 4019 -0.22702916 1.17248564 -13.007813 67.178479
    Unten rechts KachelX + 1 7601 KachelY + 1 4019 -0.22664566 1.17248564 -12.985840 67.178479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17263436-1.17248564) × R
    0.00014871999999988 × 6371000     		dl = 947.495119999236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17263436-1.17248564) × R
    0.00014871999999988 × 6371000     		dr = 947.495119999236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22664566) × cos(1.17263436) × R
    0.000383500000000009 × 0.387724744772306 × 6371000     		do = 947.319532820184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22664566) × cos(1.17248564) × R
    0.000383500000000009 × 0.387861826892005 × 6371000     		du = 947.654462615979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17263436)-sin(1.17248564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387724744772306-0.387861826892005)×R²
    abs(-0.22664566--0.22702916)×0.00013708211969915×R²
    0.000383500000000009×0.00013708211969915×6371000²
    0.000383500000000009×0.00013708211969915×40589641000000     		ar = 897739.308254583m²