Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 76 / 41
↖ ↑ ↗
← N 81.823794°
W126.562500°		 ← 11.119 km → N 81.823794°
W125.859375°		 →
↑
11.187 km
↓
↑
11.187 km
↓
N 81.723188°
W126.562500°		 ← 11.255 km →
125.150 km²		 N 81.723188°
W125.859375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1494140625 y=0.0810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1494140625 × 29)
    floor (0.1494140625 × 512)
    floor (76.5)     		tx = 76
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0810546875 × 29)
    floor (0.0810546875 × 512)
    floor (41.5)     		ty = 41
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 76 / 41 ti = "9/76/41"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/76/41.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76 ÷ 29
    76 ÷ 512     		x = 0.1484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41 ÷ 29
    41 ÷ 512     		y = 0.080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1484375 × 2 - 1) × π
    -0.703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.20893233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.080078125 × 2 - 1) × π
    0.83984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.63844695508789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20893233} λ = -2.20893233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63844695508789))-π/2
    2×atan(13.9914573639858)-π/2
    2×1.49944547203338-π/2
    2.99889094406677-1.57079632675     		φ = 1.42809462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20893233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42809462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.823794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76 KachelY 41 -2.20893233 1.42809462 -126.562500 81.823794
    Oben rechts KachelX + 1 77 KachelY 41 -2.19666049 1.42809462 -125.859375 81.823794
    Unten links KachelX 76 KachelY + 1 42 -2.20893233 1.42633870 -126.562500 81.723188
    Unten rechts KachelX + 1 77 KachelY + 1 42 -2.19666049 1.42633870 -125.859375 81.723188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42809462-1.42633870) × R
    0.00175591999999991 × 6371000     		dl = 11186.9663199994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42809462-1.42633870) × R
    0.00175591999999991 × 6371000     		dr = 11186.9663199994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20893233--2.19666049) × cos(1.42809462) × R
    0.0122718399999999 × 0.142217875397443 × 6371000     		do = 11119.1471015625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20893233--2.19666049) × cos(1.42633870) × R
    0.0122718399999999 × 0.143955726994628 × 6371000     		du = 11255.0191042611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42809462)-sin(1.42633870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.142217875397443-0.143955726994628)×R²
    abs(-2.19666049--2.20893233)×0.00173785159718448×R²
    0.0122718399999999×0.00173785159718448×6371000²
    0.0122718399999999×0.00173785159718448×40589641000000     		ar = 125149554.046981m²