Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75995 / 58749
↖ ↑ ↗
← N 18.320633°
E 28.726501°		 ← 289.94 m → N 18.320633°
E 28.729248°		 →
↑
289.94 m
↓
↑
289.94 m
↓
N 18.318026°
E 28.726501°		 ← 289.95 m →
84 068 m²		 N 18.318026°
E 28.729248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579799652099609 y=0.448223114013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579799652099609 × 217)
    floor (0.579799652099609 × 131072)
    floor (75995.5)     		tx = 75995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448223114013672 × 217)
    floor (0.448223114013672 × 131072)
    floor (58749.5)     		ty = 58749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75995 / 58749 ti = "17/75995/58749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75995/58749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75995 ÷ 217
    75995 ÷ 131072     		x = 0.579795837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58749 ÷ 217
    58749 ÷ 131072     		y = 0.448219299316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579795837402344 × 2 - 1) × π
    0.159591674804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.50137203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448219299316406 × 2 - 1) × π
    0.103561401367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.325347737721321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50137203} λ = 0.50137203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325347737721321))-π/2
    2×atan(1.38451200933307)-π/2
    2×0.945275847853924-π/2
    1.89055169570785-1.57079632675     		φ = 0.31975537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50137203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.726501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31975537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.320633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75995 KachelY 58749 0.50137203 0.31975537 28.726501 18.320633
    Oben rechts KachelX + 1 75996 KachelY 58749 0.50141997 0.31975537 28.729248 18.320633
    Unten links KachelX 75995 KachelY + 1 58750 0.50137203 0.31970986 28.726501 18.318026
    Unten rechts KachelX + 1 75996 KachelY + 1 58750 0.50141997 0.31970986 28.729248 18.318026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31975537-0.31970986) × R
    4.55099999999709e-05 × 6371000     		dl = 289.944209999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31975537-0.31970986) × R
    4.55099999999709e-05 × 6371000     		dr = 289.944209999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50137203-0.50141997) × cos(0.31975537) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.949312342096452 × 6371000     		do = 289.944424576423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50137203-0.50141997) × cos(0.31970986) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.94932664646916 × 6371000     		du = 289.948793500043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31975537)-sin(0.31970986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949312342096452-0.94932664646916)×R²
    abs(0.50141997-0.50137203)×1.43043727079961e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.43043727079961e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.43043727079961e-05×40589641000000     		ar = 84068.3405141778m²