Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75995 / 54539
↖ ↑ ↗
← N 28.895183°
E 28.726501°		 ← 267.40 m → N 28.895183°
E 28.729248°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 28.892779°
E 28.726501°		 ← 267.41 m →
71 502 m²		 N 28.892779°
E 28.729248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579799652099609 y=0.416103363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579799652099609 × 217)
    floor (0.579799652099609 × 131072)
    floor (75995.5)     		tx = 75995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416103363037109 × 217)
    floor (0.416103363037109 × 131072)
    floor (54539.5)     		ty = 54539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75995 / 54539 ti = "17/75995/54539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75995/54539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75995 ÷ 217
    75995 ÷ 131072     		x = 0.579795837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54539 ÷ 217
    54539 ÷ 131072     		y = 0.416099548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579795837402344 × 2 - 1) × π
    0.159591674804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.50137203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416099548339844 × 2 - 1) × π
    0.167800903320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.527162085121758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50137203} λ = 0.50137203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527162085121758))-π/2
    2×atan(1.69411771827288)-π/2
    2×1.03755620875337-π/2
    2.07511241750674-1.57079632675     		φ = 0.50431609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50137203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.726501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50431609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.895183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75995 KachelY 54539 0.50137203 0.50431609 28.726501 28.895183
    Oben rechts KachelX + 1 75996 KachelY 54539 0.50141997 0.50431609 28.729248 28.895183
    Unten links KachelX 75995 KachelY + 1 54540 0.50137203 0.50427412 28.726501 28.892779
    Unten rechts KachelX + 1 75996 KachelY + 1 54540 0.50141997 0.50427412 28.729248 28.892779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50431609-0.50427412) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dl = 267.390869999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50431609-0.50427412) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dr = 267.390869999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50137203-0.50141997) × cos(0.50431609) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.875505150472985 × 6371000     		do = 267.401808457467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50137203-0.50141997) × cos(0.50427412) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.875525429974662 × 6371000     		du = 267.408002339273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50431609)-sin(0.50427412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875505150472985-0.875525429974662)×R²
    abs(0.50141997-0.50137203)×2.02795016769342e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.02795016769342e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.02795016769342e-05×40589641000000     		ar = 71501.6303071328m²