Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75994 / 58330
↖ ↑ ↗
← N 19.409612°
E 28.723755°		 ← 288.01 m → N 19.409612°
E 28.726501°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
N 19.407021°
E 28.723755°		 ← 288.01 m →
82 956 m²		 N 19.407021°
E 28.726501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579792022705078 y=0.445026397705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579792022705078 × 217)
    floor (0.579792022705078 × 131072)
    floor (75994.5)     		tx = 75994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445026397705078 × 217)
    floor (0.445026397705078 × 131072)
    floor (58330.5)     		ty = 58330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75994 / 58330 ti = "17/75994/58330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75994/58330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75994 ÷ 217
    75994 ÷ 131072     		x = 0.579788208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58330 ÷ 217
    58330 ÷ 131072     		y = 0.445022583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579788208007812 × 2 - 1) × π
    0.159576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50132410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445022583007812 × 2 - 1) × π
    0.109954833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.345433298662125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50132410} λ = 0.50132410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345433298662125))-π/2
    2×atan(1.41260186557888)-π/2
    2×0.954778977433023-π/2
    1.90955795486605-1.57079632675     		φ = 0.33876163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50132410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.723755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33876163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.409612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75994 KachelY 58330 0.50132410 0.33876163 28.723755 19.409612
    Oben rechts KachelX + 1 75995 KachelY 58330 0.50137203 0.33876163 28.726501 19.409612
    Unten links KachelX 75994 KachelY + 1 58331 0.50132410 0.33871642 28.723755 19.407021
    Unten rechts KachelX + 1 75995 KachelY + 1 58331 0.50137203 0.33871642 28.726501 19.407021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33876163-0.33871642) × R
    4.52099999999622e-05 × 6371000     		dl = 288.032909999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33876163-0.33871642) × R
    4.52099999999622e-05 × 6371000     		dr = 288.032909999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50132410-0.50137203) × cos(0.33876163) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.943166922947634 × 6371000     		do = 288.007366219652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50132410-0.50137203) × cos(0.33871642) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.943181946141898 × 6371000     		du = 288.01195373275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33876163)-sin(0.33871642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943166922947634-0.943181946141898)×R²
    abs(0.50137203-0.50132410)×1.5023194263164e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.5023194263164e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.5023194263164e-05×40589641000000     		ar = 82956.26048511m²