Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75993 / 56763
↖ ↑ ↗
← N 23.415368°
E 28.721008°		 ← 280.27 m → N 23.415368°
E 28.723755°		 →
↑
280.26 m
↓
↑
280.26 m
↓
N 23.412847°
E 28.721008°		 ← 280.28 m →
78 550 m²		 N 23.412847°
E 28.723755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579784393310547 y=0.433071136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579784393310547 × 217)
    floor (0.579784393310547 × 131072)
    floor (75993.5)     		tx = 75993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433071136474609 × 217)
    floor (0.433071136474609 × 131072)
    floor (56763.5)     		ty = 56763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75993 / 56763 ti = "17/75993/56763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75993/56763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75993 ÷ 217
    75993 ÷ 131072     		x = 0.579780578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56763 ÷ 217
    56763 ÷ 131072     		y = 0.433067321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579780578613281 × 2 - 1) × π
    0.159561157226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.50127616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433067321777344 × 2 - 1) × π
    0.133865356445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.420550420366753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50127616} λ = 0.50127616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420550420366753))-π/2
    2×atan(1.52279950484727)-π/2
    2×0.989735792472239-π/2
    1.97947158494448-1.57079632675     		φ = 0.40867526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50127616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.721008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40867526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.415368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75993 KachelY 56763 0.50127616 0.40867526 28.721008 23.415368
    Oben rechts KachelX + 1 75994 KachelY 56763 0.50132410 0.40867526 28.723755 23.415368
    Unten links KachelX 75993 KachelY + 1 56764 0.50127616 0.40863127 28.721008 23.412847
    Unten rechts KachelX + 1 75994 KachelY + 1 56764 0.50132410 0.40863127 28.723755 23.412847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40867526-0.40863127) × R
    4.39899999999938e-05 × 6371000     		dl = 280.26028999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40867526-0.40863127) × R
    4.39899999999938e-05 × 6371000     		dr = 280.26028999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50127616-0.50132410) × cos(0.40867526) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.917648071639222 × 6371000     		do = 280.273341340448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50127616-0.50132410) × cos(0.40863127) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.917665552114801 × 6371000     		du = 280.278680327637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40867526)-sin(0.40863127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917648071639222-0.917665552114801)×R²
    abs(0.50132410-0.50127616)×1.74804755794788e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.74804755794788e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.74804755794788e-05×40589641000000     		ar = 78550.2360890233m²