Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75991 / 60904
↖ ↑ ↗
← N 12.618898°
E 28.715515°		 ← 297.99 m → N 12.618898°
E 28.718262°		 →
↑
298.04 m
↓
↑
298.04 m
↓
N 12.616217°
E 28.715515°		 ← 297.99 m →
88 811 m²		 N 12.616217°
E 28.718262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579769134521484 y=0.464664459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579769134521484 × 217)
    floor (0.579769134521484 × 131072)
    floor (75991.5)     		tx = 75991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464664459228516 × 217)
    floor (0.464664459228516 × 131072)
    floor (60904.5)     		ty = 60904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75991 / 60904 ti = "17/75991/60904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75991/60904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75991 ÷ 217
    75991 ÷ 131072     		x = 0.579765319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60904 ÷ 217
    60904 ÷ 131072     		y = 0.46466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579765319824219 × 2 - 1) × π
    0.159530639648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.50118029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46466064453125 × 2 - 1) × π
    0.0706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.2220437190401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50118029} λ = 0.50118029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.2220437190401))-π/2
    2×atan(1.24862596539967)-π/2
    2×0.895518816357654-π/2
    1.79103763271531-1.57079632675     		φ = 0.22024131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50118029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.715515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22024131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.618898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75991 KachelY 60904 0.50118029 0.22024131 28.715515 12.618898
    Oben rechts KachelX + 1 75992 KachelY 60904 0.50122822 0.22024131 28.718262 12.618898
    Unten links KachelX 75991 KachelY + 1 60905 0.50118029 0.22019453 28.715515 12.616217
    Unten rechts KachelX + 1 75992 KachelY + 1 60905 0.50122822 0.22019453 28.718262 12.616217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22024131-0.22019453) × R
    4.67799999999963e-05 × 6371000     		dl = 298.035379999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22024131-0.22019453) × R
    4.67799999999963e-05 × 6371000     		dr = 298.035379999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50118029-0.50122822) × cos(0.22024131) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.975844759927265 × 6371000     		do = 297.985936856435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50118029-0.50122822) × cos(0.22019453) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.975854978657378 × 6371000     		du = 297.989057268606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22024131)-sin(0.22019453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975844759927265-0.975854978657378)×R²
    abs(0.50122822-0.50118029)×1.02187301133094e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02187301133094e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02187301133094e-05×40589641000000     		ar = 88810.8169384734m²