Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7599 / 5029
↖ ↑ ↗
← N 56.885002°
W 13.029785°		 ← 1 334.78 m → N 56.885002°
W 13.007813°		 →
↑
1 335.04 m
↓
↑
1 335.04 m
↓
N 56.872996°
W 13.029785°		 ← 1 335.21 m →
1 782 275 m²		 N 56.872996°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463836669921875 y=0.306976318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463836669921875 × 214)
    floor (0.463836669921875 × 16384)
    floor (7599.5)     		tx = 7599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306976318359375 × 214)
    floor (0.306976318359375 × 16384)
    floor (5029.5)     		ty = 5029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7599 / 5029 ti = "14/7599/5029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7599/5029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7599 ÷ 214
    7599 ÷ 16384     		x = 0.46380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5029 ÷ 214
    5029 ÷ 16384     		y = 0.30694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22741265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30694580078125 × 2 - 1) × π
    0.3861083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2129953079859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22741265} λ = -0.22741265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2129953079859))-π/2
    2×atan(3.3635444304547)-π/2
    2×1.28181345090009-π/2
    2.56362690180019-1.57079632675     		φ = 0.99283058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22741265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99283058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.885002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7599 KachelY 5029 -0.22741265 0.99283058 -13.029785 56.885002
    Oben rechts KachelX + 1 7600 KachelY 5029 -0.22702916 0.99283058 -13.007813 56.885002
    Unten links KachelX 7599 KachelY + 1 5030 -0.22741265 0.99262103 -13.029785 56.872996
    Unten rechts KachelX + 1 7600 KachelY + 1 5030 -0.22702916 0.99262103 -13.007813 56.872996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99283058-0.99262103) × R
    0.000209550000000003 × 6371000     		dl = 1335.04305000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99283058-0.99262103) × R
    0.000209550000000003 × 6371000     		dr = 1335.04305000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22741265--0.22702916) × cos(0.99283058) × R
    0.000383489999999986 × 0.546321227226779 × 6371000     		do = 1334.78010245137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22741265--0.22702916) × cos(0.99262103) × R
    0.000383489999999986 × 0.546496729226556 × 6371000     		du = 1335.2088915329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99283058)-sin(0.99262103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546321227226779-0.546496729226556)×R²
    abs(-0.22702916--0.22741265)×0.000175501999776895×R²
    0.000383489999999986×0.000175501999776895×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175501999776895×40589641000000     		ar = 1782275.13151889m²