Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7599 / 4053
↖ ↑ ↗
← N 66.886972°
W 13.029785°		 ← 959.07 m → N 66.886972°
W 13.007813°		 →
↑
959.28 m
↓
↑
959.28 m
↓
N 66.878345°
W 13.029785°		 ← 959.41 m →
920 185 m²		 N 66.878345°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463836669921875 y=0.247406005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463836669921875 × 214)
    floor (0.463836669921875 × 16384)
    floor (7599.5)     		tx = 7599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247406005859375 × 214)
    floor (0.247406005859375 × 16384)
    floor (4053.5)     		ty = 4053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7599 / 4053 ti = "14/7599/4053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7599/4053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7599 ÷ 214
    7599 ÷ 16384     		x = 0.46380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4053 ÷ 214
    4053 ÷ 16384     		y = 0.24737548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22741265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24737548828125 × 2 - 1) × π
    0.5052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5872866202193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22741265} λ = -0.22741265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5872866202193))-π/2
    2×atan(4.89046123057255)-π/2
    2×1.36909710610993-π/2
    2.73819421221986-1.57079632675     		φ = 1.16739789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22741265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16739789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.886972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7599 KachelY 4053 -0.22741265 1.16739789 -13.029785 66.886972
    Oben rechts KachelX + 1 7600 KachelY 4053 -0.22702916 1.16739789 -13.007813 66.886972
    Unten links KachelX 7599 KachelY + 1 4054 -0.22741265 1.16724732 -13.029785 66.878345
    Unten rechts KachelX + 1 7600 KachelY + 1 4054 -0.22702916 1.16724732 -13.007813 66.878345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16739789-1.16724732) × R
    0.000150569999999961 × 6371000     		dl = 959.281469999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16739789-1.16724732) × R
    0.000150569999999961 × 6371000     		dr = 959.281469999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22741265--0.22702916) × cos(1.16739789) × R
    0.000383489999999986 × 0.392546255089161 × 6371000     		do = 959.074816192916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22741265--0.22702916) × cos(1.16724732) × R
    0.000383489999999986 × 0.39268473472587 × 6371000     		du = 959.413151689438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16739789)-sin(1.16724732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392546255089161-0.39268473472587)×R²
    abs(-0.22702916--0.22741265)×0.000138479636709488×R²
    0.000383489999999986×0.000138479636709488×6371000²
    0.000383489999999986×0.000138479636709488×40589641000000     		ar = 920184.980741058m²