Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75983 / 56780
↖ ↑ ↗
← N 23.372514°
E 28.693542°		 ← 280.36 m → N 23.372514°
E 28.696289°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
N 23.369993°
E 28.693542°		 ← 280.37 m →
78 594 m²		 N 23.369993°
E 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579708099365234 y=0.433200836181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579708099365234 × 217)
    floor (0.579708099365234 × 131072)
    floor (75983.5)     		tx = 75983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433200836181641 × 217)
    floor (0.433200836181641 × 131072)
    floor (56780.5)     		ty = 56780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75983 / 56780 ti = "17/75983/56780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75983/56780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75983 ÷ 217
    75983 ÷ 131072     		x = 0.579704284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56780 ÷ 217
    56780 ÷ 131072     		y = 0.433197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579704284667969 × 2 - 1) × π
    0.159408569335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.50079679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433197021484375 × 2 - 1) × π
    0.13360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.419735493073212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50079679} λ = 0.50079679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419735493073212))-π/2
    2×atan(1.52155903948137)-π/2
    2×0.989361823725971-π/2
    1.97872364745194-1.57079632675     		φ = 0.40792732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50079679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.693542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40792732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.372514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75983 KachelY 56780 0.50079679 0.40792732 28.693542 23.372514
    Oben rechts KachelX + 1 75984 KachelY 56780 0.50084473 0.40792732 28.696289 23.372514
    Unten links KachelX 75983 KachelY + 1 56781 0.50079679 0.40788332 28.693542 23.369993
    Unten rechts KachelX + 1 75984 KachelY + 1 56781 0.50084473 0.40788332 28.696289 23.369993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40792732-0.40788332) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dl = 280.323999999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40792732-0.40788332) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dr = 280.323999999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50079679-0.50084473) × cos(0.40792732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917945041831065 × 6371000     		do = 280.3640436804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50079679-0.50084473) × cos(0.40788332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917962496075795 × 6371000     		du = 280.369374656013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40792732)-sin(0.40788332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917945041831065-0.917962496075795)×R²
    abs(0.50084473-0.50079679)×1.74542447299864e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74542447299864e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74542447299864e-05×40589641000000     		ar = 78593.5173935978m²