Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75983 / 56779
↖ ↑ ↗
← N 23.375035°
E 28.693542°		 ← 280.36 m → N 23.375035°
E 28.696289°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
N 23.372514°
E 28.693542°		 ← 280.36 m →
78 592 m²		 N 23.372514°
E 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579708099365234 y=0.433193206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579708099365234 × 217)
    floor (0.579708099365234 × 131072)
    floor (75983.5)     		tx = 75983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433193206787109 × 217)
    floor (0.433193206787109 × 131072)
    floor (56779.5)     		ty = 56779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75983 / 56779 ti = "17/75983/56779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75983/56779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75983 ÷ 217
    75983 ÷ 131072     		x = 0.579704284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56779 ÷ 217
    56779 ÷ 131072     		y = 0.433189392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579704284667969 × 2 - 1) × π
    0.159408569335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.50079679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433189392089844 × 2 - 1) × π
    0.133621215820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.419783429972832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50079679} λ = 0.50079679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419783429972832))-π/2
    2×atan(1.52163198005257)-π/2
    2×0.98938382523642-π/2
    1.97876765047284-1.57079632675     		φ = 0.40797132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50079679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.693542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40797132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.375035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75983 KachelY 56779 0.50079679 0.40797132 28.693542 23.375035
    Oben rechts KachelX + 1 75984 KachelY 56779 0.50084473 0.40797132 28.696289 23.375035
    Unten links KachelX 75983 KachelY + 1 56780 0.50079679 0.40792732 28.693542 23.372514
    Unten rechts KachelX + 1 75984 KachelY + 1 56780 0.50084473 0.40792732 28.696289 23.372514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40797132-0.40792732) × R
    4.4000000000044e-05 × 6371000     		dl = 280.32400000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40797132-0.40792732) × R
    4.4000000000044e-05 × 6371000     		dr = 280.32400000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50079679-0.50084473) × cos(0.40797132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917927585809194 × 6371000     		do = 280.358712162003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50079679-0.50084473) × cos(0.40792732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917945041831065 × 6371000     		du = 280.3640436804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40797132)-sin(0.40792732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917927585809194-0.917945041831065)×R²
    abs(0.50084473-0.50079679)×1.74560218715314e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74560218715314e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74560218715314e-05×40589641000000     		ar = 78592.0229171125m²