Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75980 / 56773
↖ ↑ ↗
← N 23.390161°
E 28.685303°		 ← 280.33 m → N 23.390161°
E 28.688050°		 →
↑
280.26 m
↓
↑
280.26 m
↓
N 23.387640°
E 28.685303°		 ← 280.33 m →
78 565 m²		 N 23.387640°
E 28.688050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579685211181641 y=0.433147430419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579685211181641 × 217)
    floor (0.579685211181641 × 131072)
    floor (75980.5)     		tx = 75980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433147430419922 × 217)
    floor (0.433147430419922 × 131072)
    floor (56773.5)     		ty = 56773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75980 / 56773 ti = "17/75980/56773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75980/56773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75980 ÷ 217
    75980 ÷ 131072     		x = 0.579681396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56773 ÷ 217
    56773 ÷ 131072     		y = 0.433143615722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579681396484375 × 2 - 1) × π
    0.15936279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50065298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433143615722656 × 2 - 1) × π
    0.133712768554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.420071051370552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50065298} λ = 0.50065298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420071051370552))-π/2
    2×atan(1.52206969691484)-π/2
    2×0.989515825510664-π/2
    1.97903165102133-1.57079632675     		φ = 0.40823532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50065298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.685303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40823532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.390161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75980 KachelY 56773 0.50065298 0.40823532 28.685303 23.390161
    Oben rechts KachelX + 1 75981 KachelY 56773 0.50070092 0.40823532 28.688050 23.390161
    Unten links KachelX 75980 KachelY + 1 56774 0.50065298 0.40819133 28.685303 23.387640
    Unten rechts KachelX + 1 75981 KachelY + 1 56774 0.50070092 0.40819133 28.688050 23.387640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40823532-0.40819133) × R
    4.39899999999938e-05 × 6371000     		dl = 280.26028999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40823532-0.40819133) × R
    4.39899999999938e-05 × 6371000     		dr = 280.26028999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50065298-0.50070092) × cos(0.40823532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917822812359883 × 6371000     		do = 280.326711653715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50065298-0.50070092) × cos(0.40819133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917840275074396 × 6371000     		du = 280.332045216217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40823532)-sin(0.40819133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917822812359883-0.917840275074396)×R²
    abs(0.50070092-0.50065298)×1.74627145123063e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74627145123063e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74627145123063e-05×40589641000000     		ar = 78565.1929084291m²