Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7598 / 3310
↖ ↑ ↗
← N 72.514931°
W 13.051758°		 ← 734.10 m → N 72.514931°
W 13.029785°		 →
↑
734.19 m
↓
↑
734.19 m
↓
N 72.508328°
W 13.051758°		 ← 734.37 m →
539 071 m²		 N 72.508328°
W 13.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463775634765625 y=0.202056884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463775634765625 × 214)
    floor (0.463775634765625 × 16384)
    floor (7598.5)     		tx = 7598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202056884765625 × 214)
    floor (0.202056884765625 × 16384)
    floor (3310.5)     		ty = 3310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7598 / 3310 ti = "14/7598/3310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7598/3310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7598 ÷ 214
    7598 ÷ 16384     		x = 0.4637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3310 ÷ 214
    3310 ÷ 16384     		y = 0.2020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22779615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2020263671875 × 2 - 1) × π
    0.595947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87222355156091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22779615} λ = -0.22779615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87222355156091))-π/2
    2×atan(6.50273951242561)-π/2
    2×1.41821031365923-π/2
    2.83642062731847-1.57079632675     		φ = 1.26562430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22779615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26562430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.514931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7598 KachelY 3310 -0.22779615 1.26562430 -13.051758 72.514931
    Oben rechts KachelX + 1 7599 KachelY 3310 -0.22741265 1.26562430 -13.029785 72.514931
    Unten links KachelX 7598 KachelY + 1 3311 -0.22779615 1.26550906 -13.051758 72.508328
    Unten rechts KachelX + 1 7599 KachelY + 1 3311 -0.22741265 1.26550906 -13.029785 72.508328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26562430-1.26550906) × R
    0.000115239999999961 × 6371000     		dl = 734.194039999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26562430-1.26550906) × R
    0.000115239999999961 × 6371000     		dr = 734.194039999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22779615--0.22741265) × cos(1.26562430) × R
    0.000383500000000009 × 0.300457257999204 × 6371000     		do = 734.100758638424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22779615--0.22741265) × cos(1.26550906) × R
    0.000383500000000009 × 0.30056717137195 × 6371000     		du = 734.369307618919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26562430)-sin(1.26550906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300457257999204-0.30056717137195)×R²
    abs(-0.22741265--0.22779615)×0.000109913372746906×R²
    0.000383500000000009×0.000109913372746906×6371000²
    0.000383500000000009×0.000109913372746906×40589641000000     		ar = 539070.985878369m²