Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75979 / 56774
↖ ↑ ↗
← N 23.387640°
E 28.682556°		 ← 280.33 m → N 23.387640°
E 28.685303°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
N 23.385119°
E 28.682556°		 ← 280.34 m →
78 585 m²		 N 23.385119°
E 28.685303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579677581787109 y=0.433155059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579677581787109 × 217)
    floor (0.579677581787109 × 131072)
    floor (75979.5)     		tx = 75979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433155059814453 × 217)
    floor (0.433155059814453 × 131072)
    floor (56774.5)     		ty = 56774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75979 / 56774 ti = "17/75979/56774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75979/56774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75979 ÷ 217
    75979 ÷ 131072     		x = 0.579673767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56774 ÷ 217
    56774 ÷ 131072     		y = 0.433151245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579673767089844 × 2 - 1) × π
    0.159347534179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.50060504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433151245117188 × 2 - 1) × π
    0.133697509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.420023114470932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50060504} λ = 0.50060504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420023114470932))-π/2
    2×atan(1.52199673536135)-π/2
    2×0.989493826511374-π/2
    1.97898765302275-1.57079632675     		φ = 0.40819133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50060504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.682556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40819133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.387640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75979 KachelY 56774 0.50060504 0.40819133 28.682556 23.387640
    Oben rechts KachelX + 1 75980 KachelY 56774 0.50065298 0.40819133 28.685303 23.387640
    Unten links KachelX 75979 KachelY + 1 56775 0.50060504 0.40814733 28.682556 23.385119
    Unten rechts KachelX + 1 75980 KachelY + 1 56775 0.50065298 0.40814733 28.685303 23.385119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40819133-0.40814733) × R
    4.4000000000044e-05 × 6371000     		dl = 280.32400000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40819133-0.40814733) × R
    4.4000000000044e-05 × 6371000     		dr = 280.32400000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50060504-0.50065298) × cos(0.40819133) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.917840275074396 × 6371000     		do = 280.332045216866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50060504-0.50065298) × cos(0.40814733) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.917857739981872 × 6371000     		du = 280.337379449156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40819133)-sin(0.40814733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917840275074396-0.917857739981872)×R²
    abs(0.50065298-0.50060504)×1.74649074764499e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.74649074764499e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.74649074764499e-05×40589641000000     		ar = 78584.5479127472m²