Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75978 / 61865
↖ ↑ ↗
← N 10.031062°
E 28.679810°		 ← 300.69 m → N 10.031062°
E 28.682556°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
N 10.028358°
E 28.679810°		 ← 300.70 m →
90 422 m²		 N 10.028358°
E 28.682556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579669952392578 y=0.471996307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579669952392578 × 217)
    floor (0.579669952392578 × 131072)
    floor (75978.5)     		tx = 75978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471996307373047 × 217)
    floor (0.471996307373047 × 131072)
    floor (61865.5)     		ty = 61865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75978 / 61865 ti = "17/75978/61865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75978/61865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75978 ÷ 217
    75978 ÷ 131072     		x = 0.579666137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61865 ÷ 217
    61865 ÷ 131072     		y = 0.471992492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579666137695312 × 2 - 1) × π
    0.159332275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50055711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471992492675781 × 2 - 1) × π
    0.0560150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.175976358505226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50055711} λ = 0.50055711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.175976358505226))-π/2
    2×atan(1.19240986796577)-π/2
    2×0.872935695568326-π/2
    1.74587139113665-1.57079632675     		φ = 0.17507506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50055711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.679810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17507506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.031062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75978 KachelY 61865 0.50055711 0.17507506 28.679810 10.031062
    Oben rechts KachelX + 1 75979 KachelY 61865 0.50060504 0.17507506 28.682556 10.031062
    Unten links KachelX 75978 KachelY + 1 61866 0.50055711 0.17502786 28.679810 10.028358
    Unten rechts KachelX + 1 75979 KachelY + 1 61866 0.50060504 0.17502786 28.682556 10.028358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17507506-0.17502786) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17507506-0.17502786) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50055711-0.50060504) × cos(0.17507506) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.984713467574162 × 6371000     		do = 300.694103426273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50055711-0.50060504) × cos(0.17502786) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.984721687870058 × 6371000     		du = 300.696613592515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17507506)-sin(0.17502786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984713467574162-0.984721687870058)×R²
    abs(0.50060504-0.50055711)×8.22029589686579e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.22029589686579e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.22029589686579e-06×40589641000000     		ar = 90422.4621085685m²