Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75977 / 61517
↖ ↑ ↗
← N 10.970854°
E 28.677063°		 ← 299.84 m → N 10.970854°
E 28.679810°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
N 10.968157°
E 28.677063°		 ← 299.85 m →
89 918 m²		 N 10.968157°
E 28.679810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579662322998047 y=0.469341278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579662322998047 × 217)
    floor (0.579662322998047 × 131072)
    floor (75977.5)     		tx = 75977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469341278076172 × 217)
    floor (0.469341278076172 × 131072)
    floor (61517.5)     		ty = 61517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75977 / 61517 ti = "17/75977/61517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75977/61517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75977 ÷ 217
    75977 ÷ 131072     		x = 0.579658508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61517 ÷ 217
    61517 ÷ 131072     		y = 0.469337463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579658508300781 × 2 - 1) × π
    0.159317016601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.50050917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469337463378906 × 2 - 1) × π
    0.0613250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.192658399573006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50050917} λ = 0.50050917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.192658399573006))-π/2
    2×atan(1.21246854299707)-π/2
    2×0.881136921273449-π/2
    1.7622738425469-1.57079632675     		φ = 0.19147752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50050917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.677063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19147752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.970854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75977 KachelY 61517 0.50050917 0.19147752 28.677063 10.970854
    Oben rechts KachelX + 1 75978 KachelY 61517 0.50055711 0.19147752 28.679810 10.970854
    Unten links KachelX 75977 KachelY + 1 61518 0.50050917 0.19143045 28.677063 10.968157
    Unten rechts KachelX + 1 75978 KachelY + 1 61518 0.50055711 0.19143045 28.679810 10.968157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19147752-0.19143045) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dl = 299.882970000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19147752-0.19143045) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dr = 299.882970000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50050917-0.50055711) × cos(0.19147752) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.981724120534778 × 6371000     		do = 299.843815990681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50050917-0.50055711) × cos(0.19143045) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.981733077321004 × 6371000     		du = 299.846551623743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19147752)-sin(0.19143045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981724120534778-0.981733077321004)×R²
    abs(0.50055711-0.50050917)×8.95678622592211e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.95678622592211e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.95678622592211e-06×40589641000000     		ar = 89918.4642769329m²