Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75977 / 56776
↖ ↑ ↗
← N 23.382598°
E 28.677063°		 ← 280.34 m → N 23.382598°
E 28.679810°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
N 23.380077°
E 28.677063°		 ← 280.35 m →
78 588 m²		 N 23.380077°
E 28.679810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579662322998047 y=0.433170318603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579662322998047 × 217)
    floor (0.579662322998047 × 131072)
    floor (75977.5)     		tx = 75977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433170318603516 × 217)
    floor (0.433170318603516 × 131072)
    floor (56776.5)     		ty = 56776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75977 / 56776 ti = "17/75977/56776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75977/56776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75977 ÷ 217
    75977 ÷ 131072     		x = 0.579658508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56776 ÷ 217
    56776 ÷ 131072     		y = 0.43316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579658508300781 × 2 - 1) × π
    0.159317016601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.50050917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43316650390625 × 2 - 1) × π
    0.1336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.419927240671692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50050917} λ = 0.50050917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419927240671692))-π/2
    2×atan(1.52185082274661)-π/2
    2×0.989449827256989-π/2
    1.97889965451398-1.57079632675     		φ = 0.40810333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50050917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.677063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40810333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.382598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75977 KachelY 56776 0.50050917 0.40810333 28.677063 23.382598
    Oben rechts KachelX + 1 75978 KachelY 56776 0.50055711 0.40810333 28.679810 23.382598
    Unten links KachelX 75977 KachelY + 1 56777 0.50050917 0.40805933 28.677063 23.380077
    Unten rechts KachelX + 1 75978 KachelY + 1 56777 0.50055711 0.40805933 28.679810 23.380077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40810333-0.40805933) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dl = 280.323999999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40810333-0.40805933) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dr = 280.323999999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50050917-0.50055711) × cos(0.40810333) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.917875203112376 × 6371000     		do = 280.342713138713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50050917-0.50055711) × cos(0.40805933) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.917892664465873 × 6371000     		du = 280.348046285526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40810333)-sin(0.40805933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917875203112376-0.917892664465873)×R²
    abs(0.50055711-0.50050917)×1.74613534974499e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.74613534974499e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.74613534974499e-05×40589641000000     		ar = 78587.5382350536m²