Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75975 / 61637
↖ ↑ ↗
← N 10.647112°
E 28.671570°		 ← 300.10 m → N 10.647112°
E 28.674316°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
N 10.644412°
E 28.671570°		 ← 300.11 m →
90 092 m²		 N 10.644412°
E 28.674316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579647064208984 y=0.470256805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579647064208984 × 217)
    floor (0.579647064208984 × 131072)
    floor (75975.5)     		tx = 75975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470256805419922 × 217)
    floor (0.470256805419922 × 131072)
    floor (61637.5)     		ty = 61637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75975 / 61637 ti = "17/75975/61637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75975/61637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75975 ÷ 217
    75975 ÷ 131072     		x = 0.579643249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61637 ÷ 217
    61637 ÷ 131072     		y = 0.470252990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579643249511719 × 2 - 1) × π
    0.159286499023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.50041330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470252990722656 × 2 - 1) × π
    0.0594940185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.186905971618599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50041330} λ = 0.50041330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.186905971618599))-π/2
    2×atan(1.20551392719725)-π/2
    2×0.878311741514904-π/2
    1.75662348302981-1.57079632675     		φ = 0.18582716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50041330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.671570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18582716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.647112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75975 KachelY 61637 0.50041330 0.18582716 28.671570 10.647112
    Oben rechts KachelX + 1 75976 KachelY 61637 0.50046123 0.18582716 28.674316 10.647112
    Unten links KachelX 75975 KachelY + 1 61638 0.50041330 0.18578004 28.671570 10.644412
    Unten rechts KachelX + 1 75976 KachelY + 1 61638 0.50046123 0.18578004 28.674316 10.644412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18582716-0.18578004) × R
    4.71199999999838e-05 × 6371000     		dl = 300.201519999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18582716-0.18578004) × R
    4.71199999999838e-05 × 6371000     		dr = 300.201519999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50041330-0.50046123) × cos(0.18582716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.98278376117355 × 6371000     		do = 300.104844363174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50041330-0.50046123) × cos(0.18578004) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982792465950909 × 6371000     		du = 300.107502471659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18582716)-sin(0.18578004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98278376117355-0.982792465950909)×R²
    abs(0.50046123-0.50041330)×8.70477735870345e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.70477735870345e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.70477735870345e-06×40589641000000     		ar = 90092.329437902m²