Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75975 / 56777
↖ ↑ ↗
← N 23.380077°
E 28.671570°		 ← 280.29 m → N 23.380077°
E 28.674316°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
N 23.377556°
E 28.671570°		 ← 280.29 m →
78 573 m²		 N 23.377556°
E 28.674316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579647064208984 y=0.433177947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579647064208984 × 217)
    floor (0.579647064208984 × 131072)
    floor (75975.5)     		tx = 75975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433177947998047 × 217)
    floor (0.433177947998047 × 131072)
    floor (56777.5)     		ty = 56777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75975 / 56777 ti = "17/75975/56777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75975/56777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75975 ÷ 217
    75975 ÷ 131072     		x = 0.579643249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56777 ÷ 217
    56777 ÷ 131072     		y = 0.433174133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579643249511719 × 2 - 1) × π
    0.159286499023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.50041330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433174133300781 × 2 - 1) × π
    0.133651733398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.419879303772072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50041330} λ = 0.50041330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419879303772072))-π/2
    2×atan(1.52177787168502)-π/2
    2×0.989427827001963-π/2
    1.97885565400393-1.57079632675     		φ = 0.40805933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50041330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.671570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40805933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.380077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75975 KachelY 56777 0.50041330 0.40805933 28.671570 23.380077
    Oben rechts KachelX + 1 75976 KachelY 56777 0.50046123 0.40805933 28.674316 23.380077
    Unten links KachelX 75975 KachelY + 1 56778 0.50041330 0.40801533 28.671570 23.377556
    Unten rechts KachelX + 1 75976 KachelY + 1 56778 0.50046123 0.40801533 28.674316 23.377556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40805933-0.40801533) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dl = 280.323999999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40805933-0.40801533) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dr = 280.323999999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50041330-0.50046123) × cos(0.40805933) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.917892664465873 × 6371000     		do = 280.28956734358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50041330-0.50046123) × cos(0.40801533) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.917910124042331 × 6371000     		du = 280.294898835289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40805933)-sin(0.40801533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917892664465873-0.917910124042331)×R²
    abs(0.50046123-0.50041330)×1.74595764572683e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74595764572683e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74595764572683e-05×40589641000000     		ar = 78572.639961186m²