Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75973 / 61639
↖ ↑ ↗
← N 10.641713°
E 28.666077°		 ← 300.17 m → N 10.641713°
E 28.668823°		 →
↑
300.14 m
↓
↑
300.14 m
↓
N 10.639014°
E 28.666077°		 ← 300.18 m →
90 094 m²		 N 10.639014°
E 28.668823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579631805419922 y=0.470272064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579631805419922 × 217)
    floor (0.579631805419922 × 131072)
    floor (75973.5)     		tx = 75973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470272064208984 × 217)
    floor (0.470272064208984 × 131072)
    floor (61639.5)     		ty = 61639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75973 / 61639 ti = "17/75973/61639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75973/61639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75973 ÷ 217
    75973 ÷ 131072     		x = 0.579627990722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61639 ÷ 217
    61639 ÷ 131072     		y = 0.470268249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579627990722656 × 2 - 1) × π
    0.159255981445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.50031742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470268249511719 × 2 - 1) × π
    0.0594635009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.186810097819359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50031742} λ = 0.50031742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.186810097819359))-π/2
    2×atan(1.20539835553725)-π/2
    2×0.878264629491173-π/2
    1.75652925898235-1.57079632675     		φ = 0.18573293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50031742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.666077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18573293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.641713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75973 KachelY 61639 0.50031742 0.18573293 28.666077 10.641713
    Oben rechts KachelX + 1 75974 KachelY 61639 0.50036536 0.18573293 28.668823 10.641713
    Unten links KachelX 75973 KachelY + 1 61640 0.50031742 0.18568582 28.666077 10.639014
    Unten rechts KachelX + 1 75974 KachelY + 1 61640 0.50036536 0.18568582 28.668823 10.639014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18573293-0.18568582) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dl = 300.137809999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18573293-0.18568582) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dr = 300.137809999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50031742-0.50036536) × cos(0.18573293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98280116669951 × 6371000     		do = 300.172773611864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50031742-0.50036536) × cos(0.18568582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.982809865266929 × 6371000     		du = 300.175430378255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18573293)-sin(0.18568582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98280116669951-0.982809865266929)×R²
    abs(0.50036536-0.50031742)×8.6985674192519e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.6985674192519e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.6985674192519e-06×40589641000000     		ar = 90093.5976081303m²