Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75972 / 58268
↖ ↑ ↗
← N 19.570142°
E 28.663330°		 ← 287.78 m → N 19.570142°
E 28.666077°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 19.567554°
E 28.663330°		 ← 287.79 m →
82 818 m²		 N 19.567554°
E 28.666077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579624176025391 y=0.444553375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579624176025391 × 217)
    floor (0.579624176025391 × 131072)
    floor (75972.5)     		tx = 75972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444553375244141 × 217)
    floor (0.444553375244141 × 131072)
    floor (58268.5)     		ty = 58268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75972 / 58268 ti = "17/75972/58268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75972/58268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75972 ÷ 217
    75972 ÷ 131072     		x = 0.579620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58268 ÷ 217
    58268 ÷ 131072     		y = 0.444549560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579620361328125 × 2 - 1) × π
    0.15924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50026948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444549560546875 × 2 - 1) × π
    0.11090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.348405386438568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50026948} λ = 0.50026948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348405386438568))-π/2
    2×atan(1.41680648747416)-π/2
    2×0.956179871108371-π/2
    1.91235974221674-1.57079632675     		φ = 0.34156342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50026948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.663330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34156342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.570142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75972 KachelY 58268 0.50026948 0.34156342 28.663330 19.570142
    Oben rechts KachelX + 1 75973 KachelY 58268 0.50031742 0.34156342 28.666077 19.570142
    Unten links KachelX 75972 KachelY + 1 58269 0.50026948 0.34151825 28.663330 19.567554
    Unten rechts KachelX + 1 75973 KachelY + 1 58269 0.50031742 0.34151825 28.666077 19.567554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34156342-0.34151825) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dl = 287.778069999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34156342-0.34151825) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dr = 287.778069999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50026948-0.50031742) × cos(0.34156342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942232133172211 × 6371000     		do = 287.781946525712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50026948-0.50031742) × cos(0.34151825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942247262381523 × 6371000     		du = 287.786567375662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34156342)-sin(0.34151825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942232133172211-0.942247262381523)×R²
    abs(0.50031742-0.50026948)×1.51292093122368e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51292093122368e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51292093122368e-05×40589641000000     		ar = 82817.9980556399m²