Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7597 / 5075
↖ ↑ ↗
← N 56.328721°
W 13.073730°		 ← 1 354.59 m → N 56.328721°
W 13.051758°		 →
↑
1 354.79 m
↓
↑
1 354.79 m
↓
N 56.316537°
W 13.073730°		 ← 1 355.02 m →
1 835 475 m²		 N 56.316537°
W 13.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463714599609375 y=0.309783935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463714599609375 × 214)
    floor (0.463714599609375 × 16384)
    floor (7597.5)     		tx = 7597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309783935546875 × 214)
    floor (0.309783935546875 × 16384)
    floor (5075.5)     		ty = 5075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7597 / 5075 ti = "14/7597/5075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7597/5075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7597 ÷ 214
    7597 ÷ 16384     		x = 0.46368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5075 ÷ 214
    5075 ÷ 16384     		y = 0.30975341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22817964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30975341796875 × 2 - 1) × π
    0.3804931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19535452892572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22817964} λ = -0.22817964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19535452892572))-π/2
    2×atan(3.30472918492698)-π/2
    2×1.27695898502161-π/2
    2.55391797004321-1.57079632675     		φ = 0.98312164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22817964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98312164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.328721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7597 KachelY 5075 -0.22817964 0.98312164 -13.073730 56.328721
    Oben rechts KachelX + 1 7598 KachelY 5075 -0.22779615 0.98312164 -13.051758 56.328721
    Unten links KachelX 7597 KachelY + 1 5076 -0.22817964 0.98290899 -13.073730 56.316537
    Unten rechts KachelX + 1 7598 KachelY + 1 5076 -0.22779615 0.98290899 -13.051758 56.316537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98312164-0.98290899) × R
    0.000212650000000036 × 6371000     		dl = 1354.79315000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98312164-0.98290899) × R
    0.000212650000000036 × 6371000     		dr = 1354.79315000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22817964--0.22779615) × cos(0.98312164) × R
    0.000383489999999986 × 0.554427323176252 × 6371000     		do = 1354.58503596428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22817964--0.22779615) × cos(0.98290899) × R
    0.000383489999999986 × 0.554604284804963 × 6371000     		du = 1355.01739123281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98312164)-sin(0.98290899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554427323176252-0.554604284804963)×R²
    abs(-0.22779615--0.22817964)×0.000176961628710948×R²
    0.000383489999999986×0.000176961628710948×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176961628710948×40589641000000     		ar = 1835475.41071222m²