Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7597 / 3305
↖ ↑ ↗
← N 72.547910°
W 13.073730°		 ← 732.74 m → N 72.547910°
W 13.051758°		 →
↑
732.86 m
↓
↑
732.86 m
↓
N 72.541319°
W 13.073730°		 ← 733.01 m →
537 091 m²		 N 72.541319°
W 13.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463714599609375 y=0.201751708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463714599609375 × 214)
    floor (0.463714599609375 × 16384)
    floor (7597.5)     		tx = 7597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201751708984375 × 214)
    floor (0.201751708984375 × 16384)
    floor (3305.5)     		ty = 3305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7597 / 3305 ti = "14/7597/3305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7597/3305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7597 ÷ 214
    7597 ÷ 16384     		x = 0.46368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3305 ÷ 214
    3305 ÷ 16384     		y = 0.20172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22817964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20172119140625 × 2 - 1) × π
    0.5965576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87414102754572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22817964} λ = -0.22817964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87414102754572))-π/2
    2×atan(6.51522032127771)-π/2
    2×1.41849811017838-π/2
    2.83699622035675-1.57079632675     		φ = 1.26619989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22817964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26619989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.547910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7597 KachelY 3305 -0.22817964 1.26619989 -13.073730 72.547910
    Oben rechts KachelX + 1 7598 KachelY 3305 -0.22779615 1.26619989 -13.051758 72.547910
    Unten links KachelX 7597 KachelY + 1 3306 -0.22817964 1.26608486 -13.073730 72.541319
    Unten rechts KachelX + 1 7598 KachelY + 1 3306 -0.22779615 1.26608486 -13.051758 72.541319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26619989-1.26608486) × R
    0.000115029999999905 × 6371000     		dl = 732.856129999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26619989-1.26608486) × R
    0.000115029999999905 × 6371000     		dr = 732.856129999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22817964--0.22779615) × cos(1.26619989) × R
    0.000383489999999986 × 0.299908213232991 × 6371000     		do = 732.740182213292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22817964--0.22779615) × cos(1.26608486) × R
    0.000383489999999986 × 0.300017946194763 × 6371000     		du = 733.008283408442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26619989)-sin(1.26608486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299908213232991-0.300017946194763)×R²
    abs(-0.22779615--0.22817964)×0.000109732961771136×R²
    0.000383489999999986×0.000109732961771136×6371000²
    0.000383489999999986×0.000109732961771136×40589641000000     		ar = 537091.374626491m²